函数与方程思想习题

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1、函数与方程习题1.下列函数中有2个零点的是()(A)(B)(C)(D)2.若函数在区间上为减函数，则在上()(A)至少有一个零点(B)只有一个零点(C)没有零点(D)至多有一个零点3.若函数在上连续，且有．则函数在上()(A)一定没有零点(B)至少有一个零点(C)只有一个零点(D)零点情况不确定4.若函数在上连续，且同时满足，．则()(A)在上有零点(B)在上有零点(C)在上无零点(D)在上无零点5.已知是二次方程的两个不同实根，是二次方程的两个不同实根，若，则()(A)，介于和之间(B)，介于和之间(C)与相邻，与相邻(D)

2、，与，相间相邻6.设函数，则函数的零点是____________7.已知关于x的一元二次方程2x2+px+15=0有一个零点是-3，则另一个零点是____________8.函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上零点个数是__________9.已知f(x)的图象是连续不断的，有如下的x与f(x)的对应值表：x123456f(x)6.363.23-1.76-10.021.6131则函数f(x)存在零点的区间是____________10.求证：方程5x2-7x-1=0的根在一个在区间（-1,0）上，另一个在区间(1,2)

3、上。11.已知函数f(x)=2(m-1)x2-4mx+2m-1（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个不同的交点；（2）如果函数的一个零点在原点，求m的值。一、复习策略　　函数思想是一种通过构造函数从而应用函数图象、性质解题的思想方法，即用运动变化的思想观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来，并加以研究其内在的联系，使问题获解．应用函数思想解题的基础是：常见函数的单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换等；熟练掌握一次函数、二次函数、指对数函数等具体特征；应用函数思想解题的关键是：善于观察题目

4、的结构特征，揭示内在联系，挖掘隐含条件，从而恰当地构造函数和利用函数性质去解题．　　方程思想是若干变量关系是通过解析式表示的，则可以把解析式看成一个等式，然后通过方程的讨论从而使问题获解．许多问题中含有常量、变量和参量，可以通过适当方式，运用方程的观点去观察、深入分析问题的结构特点，抓住某一个关键变量，构造出这种等式来处理．两种思想方法是相辅相成的，有关方程、不等式、最值等问题，利用函数、方程观点加以分析，常可以使问题“明朗化”，从而易于找到适当解题途径．　　历年的高考试题中，每年都有一些设问新颖的函数与方程题目，而且占有相当

5、的比重，一些常见的解题规律和方法在这里得到比较充分的体现．二、典例剖析题型一　根据等式的特点，构建方程例1．设是方程的两个不等实根，那么过点和的直线与圆的位置关系是（　）A．相离　　　　　　　　　　　B．相切C．相交　　　　　　　　　　　D．随的值而变化分析：　　判断直线与圆的位置关系，即判断圆心到直线的距离与圆的半径的关系．解：　　由题意，得，即，　　因此和都在直线上，∴原点到该直线的距离，∴过的直线与单位圆相切．点评：　　本题的关键之处在于求出过两点的直线方程，这里是从方程的形式中观察出的，灵活运用函数与方程的思想，通过“

6、设而不求”而得出的．例2．对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)．　　（1）若a=1，b=－2时，求f(x)的不动点；　　（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；　　（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx＋对称，求b的最小值．解：　　（1）当a=1，b=－2时，f(x)=x2－x－3，由题意可知x=x2－x－3，得x1

7、=－1，x2=3．故当a=1，b=－2时，f(x)的两个不动点为－1，3．（2）∵f(x)=ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)恒有两个不动点，∴x=ax2＋(b＋1)x＋(b－1)，即ax2＋bx＋(b－1)=0恒有两相异实根．∴Δ=b2－4ab＋4a＞0(b∈R)恒成立．于是Δ′=(4a)2－16a＜0解得0＜a＜1．故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1.（3）由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x1，x1)，B(x2，x2)．又∵A、B关于y=kx＋对称．∴k=－1.设AB的中点为M(x′，y

8、′)．∵x1，x2是方程ax2＋bx＋(b－1)=0的两个根．∴x′=y′=，又点M在直线上有，即．∵a＞0，∴2a＋≥2当且仅当2a=即a=∈(0，1)时取等号，故b≥－，得b的最小值－.例3．对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：　　①f(x)在D内单调递增或单调递减