中国科学院 自动化研究所(北京) 考博真题 数学 2016

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1、中国科学院自动化研究所2016年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试卷科目名称：数学考生须知：1.本试卷满分为100分，全部考试时间总计180分钟。2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上一律无效。2本试卷可能用到的常数：分别以Zt(),(),(),F()表示标准正态分布，nnm,n卡方分布，student-t分布和F分布的上分位数，则Z(0.005)3.29，Z(0.025)1.96，Z(0.05)1.65，t0.0252.06，24t240.051.71,F3,12(0.05)3.49，F4,12

2、(0.05)3.26，F(0.05)3.11,F(0.05)3.10，5,123,20F(0.05)2.87,F(0.05)2.71,F0.052.78。4,205,204,24一．（14分）求微分方程组dx138xx13dtdx2326xxx123dtdx325xx13dt满足初始条件xxx(0)1,(0)0,(0)1的解。122科目名称：数学第1页共3页二．（12分）已知矩阵121022A121211试求矩阵A的满秩分解：AFG，其中，F是4r矩阵，G是r3矩阵

3、，rrankA()。三．（12分）试求下面矩阵A的Moore‐Penrose广义逆阵A：20ii42iA0036，21144i其中i1。nn四．（12分）设AC，是矩阵Aa的特征值，试证明下列结论：ij,1.A；m1H2.Re()AA2m1H3.Im()AA。2mH其中A是矩阵A的共轭转置，Re(),Im()分别是复数的实部和虚部；矩阵范数A定义为：Anamaxmmij,ij,五.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）1．设第一只盒子装有3只蓝球

4、，2只绿球，2只白球；第二只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。已知至少有一只蓝球，则有一只蓝球一只白球的概率为_。22.设X~N(3,),且P{X0}0.1，则P{3X6}_。3.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为kxyx(6),02,2y4;fxy(,)0,其他,则PX{1,3Y)_科目名称：数学第2页共3页4.假设一工厂有三部机器，三部机器的产量占总产量的比例分別为50%、30%以及20%，且已知三部机器均会产生瑕疵品，第一部机器的产量中有1%为瑕疵品，第二部机器

5、的产量中有2%为瑕疵品、第三部机器的产量中有4%为瑕疵品。若已知抽中之产品为瑕疵品，其来自第二部机器的可能性为_。5.设X,,,XXX是来自正态总体X~N0,4的样本，则当a_时1234222YaXX1222aXX34~2。六.(本题10分)设随机变量(,)XY的联合概率密度为1,yxx,01fxy(,)0,otherwise1试求：fx()y。XY2x1ex,0七.(每小题5分，共10分)设总体X的密度函数为fx(,)，其中0,其它0未知，X,X,,X是从该总体中抽取的一个

6、样本。12n1.试求的极大似然估计。2.此极大似然估计偏倚是多少？八.(本题10分)保险公司新增一个保险品种，每份保单缴纳保费100元，若发生赔付，赔付金额为2万元。根据统计,这类保险赔付概率为0.0005。这个新保险品种预计需投入120万元的广告宣传费用。在忽略其他费用的情况下,一年内至少需要多少人参保,才能使保险公司在该年度获利超过80万元的概率大于95%?科目名称：数学第3页共3页