棋子变化问题

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1、棋子变化问题杨敬业2010035056数学试验班22一．问题与初步思考任取n(n≥3)枚棋子围成一圈，棋子有白与黑两种颜色，连续施行变换：对围成一圈的棋子，在两枚相同颜色的棋子中间添一枚黑棋子，在两枚不同颜色的棋子中间添一枚白棋子。去掉原来的棋子，新添的n个棋子排成一个圆周，问棋子的变化情况。(n=1,2属于平凡状态)我们先来看几个例子：n=3发现题目的颜色走进了循环状态，但是当n为偶数时，我们再来看看n=6最后也进入了循环k那最后会不会变成一种颜色呢？其实当n2，k=2,3…时，最多只需要k经过2次变换

2、一定可以全部变为黑色。二．分析以及建模首先，给棋子编号，任指定一枚棋子为1号，按顺时针方向依次是2号，3号．⋯．n号．经过变换后，i号棋子为在原来i号棋子与(i+1)号棋子之间新添的棋子，i=1，2．⋯n要将这个实际问题转化为数学问题可以把黑白两色的棋子分别设为两个相关的数字，并使这两个数在运算关系中符合题目的要求，通过计算得出数字之间的关系，假设黑棋子为1，白棋子为-1则1x1=1，(-1)x(-1)=1,1x(-1)=-1,(-1)x1=-1.那么本题的问题就巧妙的和数学知识联系上了，因此本题就转换成一

3、个数学问题。假设有三个棋子给它分别编号为1，2，3构成一个圈。插入两颗棋子之间的棋子颜色由这两颗棋子共同决定。1231×22×33×12321321×23212333123333312123123464464464123122312331231510105510105510105123123231231312312通过以上推理过程图，可以发现：当n=3时，棋子颜色由上一行的两个元素决定且其指数依次为1，3，3，1.⑵再以m=5

4、，n=5为例，通过对任意一颗棋子（令这颗棋子为第一颗棋子）的计算可得到每一次这颗棋子的符号分布如下：n=1时，得到新棋子的符号决定因素为1×2，其对应指数分布为1，1.2n=2时，得到新棋子的符号决定因素为1×23，其对应指数分布为1，2，1.33n=3时，得到新棋子的符号决定因素为1234，其对应指数分布为1，3，3，1.464n=4时，得到新棋子的符号决定因素为12345，其对应指数分布为1，4，6，4，1.510105n=5时，得到新棋子的符号决定因素为123451，其对应指

5、数分布为1，5，10，10，5，1.由以上具体例子的递推结果可以看出他们的系数前n行遵循遵循杨辉三角第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561第7行172135352171第8行18285670562881第9行193684126126843691第10行1104512021025221012045101第11行1115516533046246233016555111······下面给出主要问题的证明：对n(n≥3)枚棋子的所有可能的颜色状态

6、，最多经过n次变换均可呈全黑色k?=2，k为正整数且大于1为此我们先证明一引理：k杨辉三角第n（n≥2）行上除了首尾两个数，剩下均是偶数的n=2k为任意正整数证明：km2!由于杨辉三角第n行第m+1个数为Cnk2m!m!nrkst令22Q,2m!2Q,m!2Q,其中r,s,t为正整数，Q0120QQ为奇数，12故为偶数同理可得回到定理中，我们发现第n次操作后，棋子指数恰好是杨辉三角的第n行。k而n=2行杨辉三角恰好全是偶数，两端的1对应的刚好都是棋子的顶点，所以乘起来为1

7、，黑色；反正的证明由计算易，这里不再赘述。综上所述，我们几乎解决了这个问题。下面我们用matlab验证一下：n=6%定义棋子数times=6%定义迭代次数x0=zeros(1,n);x1=zeros(1,n);%定义数组fori=1:nk=rand(1,1);if(k>0.5)x0(i)=1;elsex0(i)=-1;endend;%赋初值x0fori=1:timesifork=1:n-1x1(k)=x0(k)*x0(k+1);endx1(n)=x0(n)*x0(1);x1%显示各次结果x0=x1;end输

8、出的结果为：第一次n=6times=6x0=-1-11111i=1x1=1-1111-1i=2x1=-1-111-1-1i=3x1=1-11-111i=4x1=-1-1-1-111i=5x1=111-11-1i=6x1=11-1-1-1-1第二次n=6times=6x0=1-11-1-1-1i=1x1=-1-1-111-1i=2x1=11-11-11i=3x1=1-1-1-1-11i=4x1=-1111-11i=