矩阵Jordan标准形及相似变换矩阵的初等变换求法

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1、万方数据第13卷第2期2003年4月广西大学梧州分校学报JOURNAL0FGUANGXIUNIVERSITYWUZHOUBRANCHNo．2V01．13Apr．2003矩阵Jordan标准形及相似变换矩阵的初等变换求法陈红1，李信巧2(1．广西大学梧州分校基础课部，广西梧州5430022．玉林师院数计系，广西玉林537000)【摘要】本文考察了应用初等相似变换化方阵为Jordan标准形及求相似变换矩阵、特征值和特征向量的简便方法。【关键词】Jordan标准形；相似变换矩阵；初等相似变换；特征值；特征向量【中图分类号】0151．21【文献标识码】A【

2、文章编号】1009—2633(2003)02一0023—041．引言矩阵的Jordan标准形的理论在数学、力学和计算方法中是一个非常重要的工具，求矩阵的Jordan标准形及其相似变换矩阵自然成为一个重要的研究课题．在众多的教科书及包含矩阵理论的著作中，有些只讨论了矩阵的Jordan标准形而末讨论相似变换矩阵的求法，有些只提到相似变换矩阵的问题并给出例题，但并末给出一般的有效算法，有些给出了算法，但较为繁琐。为此我们考察了应用初等变换相似求矩阵的Jordan标准形及相似变换矩阵的简便方法．2．矩阵的相似变换可以由初等变换来实现．引理，若喾一)揪叫是舯

3、u有PAQ=B证明：因为对矩阵进行一次初等行(列)变换，相当于左(右)乘上一个同变换的初等矩阵，所以存在初等矩阵P；(i=1，2，⋯，t)与Qi(j=1，2，⋯，s)，使得PtPt．1⋯P2P1AQlQ2⋯Qs．1Qs=B设PtPl．1⋯P2P1E=P，EQlQ2⋯Q孓1Qs=Q即得PAQ=B由Jordan标准形存在定理知道，复数域上收稿日期：2003—03—02任意一个方阵总可以找到非奇异矩阵P，使P‘1AP=J这里J是若当标准形，即A相似于J，P为相似变换矩阵．因为P可逆，从而P=P，P2⋯Ps(其中P，P：⋯Ps是初等矩阵)；而初等矩阵的逆仍

4、为初等矩阵，所以P-1=P0··P，P1‘1也是初等矩阵的乘积，由J=P‘1AP=Ps-1⋯P～2P～1APlP2⋯Ps知J可由A经过S次初等行变换(依次对应于初等矩阵P．1“P．1：⋯P-1s)和s次初等列变换(依次对应于初等矩阵P，，P：，⋯Ps)而得到．初等矩阵P(i，j)，P(i(k))及P0，j(K))的逆矩阵形式如下■P(i，j)一=P(i，j)，P(i(K))。1=P(i(古))，P(j，i(K))。1=Pn(j，i(一k))于是我们给出如下定义：定义设A为n阶方阵，称如下初等变换为相似变换：(1)交换A的第i行(列)和第j行(列)得

5、A1，紧接着交换A1的第i列(行)和第j列(行)，即P(i，j)AP(i，j)；(2)用非零常数K乘A的第i行(列)得A，，紧接着用÷乘A1的第i列(行)，即P(i(K))AP(i『、一(÷))；万方数据广西大学梧州分校学报第13卷(3)用常数K乘A第i行(列)加到第j行(列)得A，，紧接着用(一K)乘A，的第j列(行)加到第i列(行)，即P(j，i(K))AP(j，i(一K))．由J=P。AP=Ps_1⋯P2-1P14APlP2⋯Ps可知对A作有限次初等相似变换后，可得到Jordan标准形J．由上述分析及引理1，容易证得：定理1·对2n×2n矩阵

6、lE：一67中A所在的行、列施行初等相似变换，当A变为Jordan标准形时，则得到相似变换矩阵P及P．1，即有fA—E＼对A所在的行和列_÷fJ·P‘11IEb7丽瓢蹶’时6-JP_1AP=J定理1给出的算法原理中，要注意初等矩阵Pi(i=l，2，⋯，s)的逆矩阵形式及行、列变换应成对进行．定理2．A石n阶矩阵，若有非奇异矩阵P满足P-1AP=J，其中J是若当标准形，J=J1J2Jmf入；l0⋯00＼k洋kio入i1⋯oolJj=h坠j?o．1，(i=1，2，⋯'m)，心33：：：汉jl0OO⋯O入：Jk1+k2+⋯+k。寻n；P=(P1，P2，⋯

7、，P。)，P中与Ji相对应的PF(考0考》一，∈?)，则(入；E—A)毫：’：o，(入；E—A)：专：’=o，⋯，(入；E—A)‘考：=o．特别地专i’是对应于入i的特征向量．证明P。1AP=J，AP=PJ，A(P1，P2，⋯，P。)=(P，，P2，⋯，P。)diag(J1，J2，⋯，Jm)，AP-_PJi，(I．1，2⋯，m)，即A(0毋一，毫融。毋一，毫：)入0●●●0l0⋯00、k萍kI入．1⋯00O入i⋯OO0O⋯入．100⋯0入由分块矩阵乘法(A专：’，A专鼻．．，A专：?)=(入i∈：i)，考?+入i毛：’，⋯，考：：。+入j毫：)所以

8、A∈

9、i)=入i毛：’，(入iE—A)群=o，毫：’是对A醪：辞+入io(入iE—A)彰：一毋(入iE—A)2考：’=一(