计算力学——有限元法

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1、DEPARTMENTOFMECHANICSLANZHOUUNIVERSITY《计算力学》第五章有限元法@WangXingzhe兰州大学土木工程与力学学院1DEPARTMENTOFMECHANICSLANZHOUUNIVERSITY第五章有限元法本章主要内容§5.0有限元方法的简介、发展§5.1有限元的直观方法和基本概念杆的分析梁的分析§5.2有限元法的一般化理论、基本思想及其实现基本思想主要步骤和一般原则§5.3形函数、坐标变换和等参元§5.4平面问题有限元法及其应用单元应变、应力矩阵单元刚度方程与单元刚度矩阵整体有限元方程的

2、建立……§5.5板壳弯曲问题有限元分析§5.6流体力学有限元分析初步@WangXingzhe兰州大学土木工程与力学学院21DEPARTMENTOFMECHANICSLANZHOUUNIVERSITY第五章有限元法§5.0有限元方法的简介、发展在寻找求解连续系统和偏微分方程(组)方法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限元法；并且逐步发展成为现代工程数值分析中应用最为广泛的一种方法，是解决工程实际问题的有力数值计算工具。每种数值方法或多或少地存在着局限性！有限差分法：可给出基本方程的逐点近似值（差分网格中的点），但

3、对于不规则的几何形状和不规则的特殊边界条件差分法和方程很难建立；加权残值法：方程较易简单，但依赖于权函数和试函数的正确选择，需要相当多的经验积累才能做到。@WangXingzhe兰州大学土木工程与力学学院3DEPARTMENTOFMECHANICSLANZHOUUNIVERSITY第五章有限元法何谓有限元法？有限（单元、自由度）无限（连续体、无穷）有限元法——将求解区域看作由许多小的在节点处互相连接的子域（单元）所构成，其分析模型是给出基本方程的子域上分片近似解。优点：适应复杂的几何形状、复杂的材料持性和复杂的边界条件。（由于单元或子域

4、可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸）@WangXingzhe兰州大学土木工程与力学学院42DEPARTMENTOFMECHANICSLANZHOUUNIVERSITY第五章有限元法有限元法的由来？！1960年，Clough在他的名为“Thefiniteelementinplanestressanalysis”的论文中首次提出了有限元（finiteelement）这一术语。1956年Turner,Clough，Martin等在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形

5、和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。1963年前后，经过J.F.Besseling,R.J.Melosh,R.E.Jones等许多人的工作，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。@WangXingzhe兰州大学土木

6、工程与力学学院5DEPARTMENTOFMECHANICSLANZHOUUNIVERSITY第五章有限元法20世纪70年代以后，计算机和软件技术的发展，有限元法大发展时期。涉及的内容有：有限元法在数学和力学领域所依据的理论；单元的划分原则、形状函数的选取及协调性；有限元法所涉及的各种数值计算方法及其误差、收敛性和稳定性；计算机程序设计技术等；以及其向其他各领域的推广。不同的认识数学家们——有限元法是偏微分方程定解问题数值分析方法中的一种新进展；力学家们——是基于变分原理的近似解法的革新和发展；工程结构专家——有限元法是结

7、构力学的矩阵分析法在连续介质力学中的推广与应用。@WangXingzhe兰州大学土木工程与力学学院63DEPARTMENTOFMECHANICSLANZHOUUNIVERSITY第五章有限元法有限元法在我国的发展我国是在20世纪50年代末期成功研制了第一台大型电子计算机（130型）60年代初，著名应用和计算数学家冯康教授，独立于西方创立了一套现代化和系统化的求解微分方程的近似方法，并取名为“基于变分原理的差分格式”。这一方法的内容在实质上就是当时国际上差不多同一时期提出的所谓的“有限元法”，并先于西方建立了严密的理论体系，是国际公认的

8、当代数值计算方法的一项重大成就，不同的只是我国是从数学方面提出有限元法的。上世纪50年代末60年代初，在解决大型水坝计算问题的集体研究实践的基础上，独立于西方创造了一整套解微分方