从数学史角度看DXP的微积分研究

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1、从数学史角度看丁小平的微积分研究从丁小平先生在第四届世界数学科学大会发表《浅谈现行微积分原理的错误》和《新微积分原理简介》算起，至今已有九年。这九年中，丁小平先生一直通过发表论文和讲学等方式揭示现行微积分原理的错误，同时，讲授他的新微积分原理，到目前为止，不了解他的学术结论的数学家已经寥寥无几，但公开支持他学术结论的不多，试图驳倒他的一个都没有成功，而私下支持他学术结论的却比比皆是。笔者试从科学史角度谈谈自己对丁小平研究工作的浅见。丁小平先生回母校清华大学参加校庆时与同学合影微积分的历程牛顿和莱布尼兹，分别在1665年和1673年独自创建微积分方法体系并建立各自的微积分原理，其结果

2、是：微积分方法放之四海而皆准，但微积分原理始终不能自圆其说。在牛顿的微积分原理中，由于构造流数(即导数)的需要，牛顿人为地引入小量，可是，当流数构造出之后，牛顿又觉得流数后的小量或的组合项是个麻烦，于是，牛顿又人为地将它舍弃。逻辑学告知世人，如果一个量无论多小都得引入，那它就不可以忽视;如果一个量小得可以忽视，那它就不必引入。据此，基督教北爱尔兰大主教贝克莱嘲笑牛顿的“”是幽灵。在莱布尼兹的微积分原理中，莱布尼兹定义两个要多近就可以多近的变量的差为微分，微分的逐点累加就是积分(将积分区分为不定积分与定积分是多余的)，积分的微化就是微分，导数就是因变量与自变量的微分之比。莱布尼兹微积

3、分原理的不足在于说不清“要多近就可以多近”究竟是多近。1821年至1823年，法国数学家柯西分别出版了他的《分析教程》和《无限小计算教程概论》，以此为标志，人类建立起第一个微积分原理。后来，又经过黎曼、维尔斯特拉斯和达布等数学家的完善，我们现行的微积分原理宣布大功告成。柯西系的微积分原理本质上就是用极限论处理掉项的牛顿系的微积分原理，但在解释不了丰富多彩的微积分方法为什么行之有效时又只好把莱布尼兹的微分拼凑进去。可是，1875年数学家托梅对现行微积分原理提出挑战。继托梅的直尺函数之后，原点左右无限震荡函数和越接近原点越无限次震荡衰减函数等相继登场，从此，微积分原理再次进入危机之中。

4、如果我们称贝克莱对牛顿的质疑为微积分原理的第一次危机的话，那么，这次危机称之为微积分原理的第二次危机。微积分原理第二次危机的化解是法国数学家勒贝格在1902年通过他的《积分，长度和面积》一文完成的，文中有两个核心思想，即后人所说的“勒贝格测度”和“勒贝格积分”。如上就是现今的微积分历程。微积分历程所引发的思考微积分方法的行之有效早已为实践所证明，无需再做理论上的证明，可是诚如马克思指出：“这种算法通过肯定不正确的数学途径得出了正确的结果。”那么，为什么不正确的途径可以得出正确的结论呢?为什么微积分方法行之有效呢?以及如何优化已有微积分方法和怎样再揭示更多的微积分方法?这些问题就是微

5、积分原理所要完成的任务。不管从1665年算起，还是从1673年算起，也不管牛顿和莱布尼兹的微积分原理是否无法自圆其说，在牛顿和莱布尼兹之后微积分方法得到迅猛发展确是铁的事实，截止1821年，微积分方法发展得几乎与现今毫无二致。在微积分方法的发展中，做出主要贡献的是伯努利兄弟、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅里叶和高斯，其中贡献最大的是欧拉。从师承脉络上看，伯努利兄弟是莱布尼兹的朋友和学生，而欧拉又是伯努利兄弟的学生。相反，继泰勒建立泰勒公式以后，“英国数学陷入长期的停滞状态……他们不能摆脱牛顿微积分学说中弱点的束缚。”通过这些历史事实不知是否可以得出这样的结论：微积分方法的迅猛

6、发展主要得益于莱布尼兹的思想，与柯西用极限论建立的牛顿思路的微积分原理关系甚远。1821年以后，已有的微积分方法基本上没有得到优化，新的微积分方法也没有再得到揭示;另一方面，微积分方法并没有揭示穷尽，比如，到现在人类也解不了大多数的微分方程。据此，人们似乎可以怀疑现行微积分原理的存在价值。极限思想的首倡者是英国数学家J.沃利斯。极限方法的意义在于可以处理掉导数后多余小量或的组合项，也可以定义定积分。一句话，可以规避过程直面结果。也正因为如此，极限论下的积分无法逐点累加，也无法给出导数的瞬时比形式。这就应该是为什么现行微积分原理对以托梅为代表的数学家提出的挑战没有办法的原因。勒贝格似

7、乎解决了这个问题，但细细想来，勒贝格积分不过是实现了积分中的角色对调，仅仅是规避了问题，相反，勒贝格测度论也存在逻辑上的问题。勒贝格测度中存在的逻辑问题可以从两个方面加以说明：第一，无理数是测度的数学承担者与超越数是测度的数学承担者的说法是相互矛盾的，即使退到贝尔的第一类集合这种解释也不能自圆其说，因为超越数在解析几何意义上与其它数一样，其它数没有测度，超越数也同样没有测度。第二，勒贝格测度是用排除法建立的，它的思路是：区间有测度，代数数的测度为0，所以，超越数是测度