2019_2020学年高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程学案（含解析）新人教A版必修2

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1、4.1.2　圆的一般方程知识导图学法指导1.准确把握圆的一般方程的结构形式，理解各个字母的意义；把握圆的一般方程与标准方程的互化；体会待定系数法求圆的一般方程的步骤．2．明确求动点的轨迹及轨迹方程的步骤，弄清楚轨迹与轨迹方程的区别．高考导航1.圆心坐标及半径长的确定或与直线方程的综合是考查的热点，多以选择题、填空题的形式出现，分值5分．2．考查动点的轨迹(方程)，各种题型均有可能出现，分值4～6分.知识点一　圆的一般方程1．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，该方程叫作圆的一般方程．2．圆的一般方程下的圆心

2、和半径：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的圆的圆心为，半径长为.知识点二　求动点的轨迹方程的方法　求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(x，y)所满足的关系式，并把这个方程化成最简形式，如果题目中没有坐标系，那么就要先建立适当的直角坐标系．求轨迹方程的一般步骤为：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：(1)x2，y2项的系数均为1；(2)没有xy项；

3、(3)D2＋E2－4F>0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．(　　)(2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆．(　　)答案：(1)×　(2)√2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)A．(2,3)　　　B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)解析：D＝－4，E＝6，则圆心坐标为(2，－3)．答案：D3．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)A.B.C.D.解析：设圆的一

4、般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得∴△ABC外接圆的圆心为，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为＝.答案：B4．若方程x2＋y2＋ax＋ay＋a＝0表示圆，则a的取值范围是________________．解析：由题意得2a2－4a>0，∴a2－2a>0，∴a<0或a>2.答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)类型一　圆的一般方程的概念辨析例1　下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－4x＝0

5、.【解析】　二元二次方程只有能转化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0且D2＋E2－4F>0才表示圆．(1)因为x2与y2项的系数不相等，所以不能表示圆．(2)因为方程中含有xy项，所以不能表示圆．(3)因为(－2)2＋(－4)2－4×10<0，所以不能表示圆．(4)2x2＋2y2－4x＝0可化为(x－1)2＋y2＝1，故方程表示以点(1,0)为圆心，1为半径的圆.判断二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0能否表示圆可按如下步骤进行：①判断A，C是否相等且不等于0，B是否等于0；②若满足A＝C≠0，B＝0，则判断D2＋E2－4F

6、是否大于0，或将方程左端配方，然后与圆的标准方程进行对比，作出判断．方法归纳形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．跟踪训练1　下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．(1)x2＋y2＋x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)2x2＋

7、2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．解析：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0，∴方程(1)不表示任何图形．(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，∴方程表示点(－a,0)．(3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0，∴D2＋E2－4F＝2a2>0，∴该方程表示圆，它的圆心为，半径r＝＝

8、a

9、.判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2

10、＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是不是大于零的常数．类型二　待定系数法求圆的方程例2　已知△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5