快速傅里叶变换长大年夜史

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1、快速傅立叶变换(FFT)个人日记2010-04-1612:24:48阅读163评论0字号：大中小订阅近十多年来数字信号处理技术同数字计算机、大规模集成电路等先进技术一样，有了突飞猛进的发展，日新月异，已经形成了一门具有强大生命力的技术科学。由于它本身具有一系列的优点，所以能有效地促进各工程技术领域的技术改造和学科发展，应用领域也更加广泛、深入，越来越受到人们的重视。在数字信号处理中，离散傅里叶变换(DiscreteFourierTransform,DFT)是常用的变换方法，它在各种数字信号处理系统中扮演着重

2、要的角色。傅里叶变换已有一百多年的历史了，我们知道频域分析常常比时域分析更优越，不仅简单，且易于分析复杂信号。但用较精确的数字方法，即DFT进行谱分析，在FFT出现以前是不切实际的。这是因为DFT计算量太大。直到1965年出现了DFT]运算的一种快速方法以后，情况才发生了根本的变化。快速傅里叶变换〔FastFourierTransfonn,FFT〕并不是与离散傅里叶变换不同的另一种变换，而是为了减少DFT计算次数的一种快速有效的算法。当时Garwin在自己的研究中极需要一个计算傅立叶变换的快速方法，而L.W

3、.Tukey正在写有关傅里叶变换的文章，Tukey概括地对Garwin介绍了一种方法，它实质上就是后来著名的Cooley-Tukey算法。在Garwin的迫切要求下，1963年，IBM公司的Cooley根据Tukey的想法编写了第一个FFT算法程序。在FFT算法中，Tukey主要利用了旋转因子的周期性和对称性。这两个性质使DFT运算中的某些项可以合并，使DFT运算尽量分解为更少点数的DFT运算。因为DFT的运算量与Pow(N,2)成比例，所以如果将一个大点数的DFT分解为若干个小点数的DFT的组合，将有效地

4、减少运算量。Cooley在计算机上实现该算法时，为节省存储空间和减少寻址时间，采用了3维标号映射方法和在算法内部的循环结构，这些结构和技巧对后来的FFT算法研究及实现同样产生了很大影响。1965年，Cooley和Tukey在《计算数学》上发表了著名的论文，并立即引起了广泛注意。FFT算法将运算量从O(N2)减少为2O(NlogN)，运算时间减少1-2个数量级，从理论上解决了数字信号处理运算量大的问题，是数字信号处理发展史上的—块里程碑。以计算l024点的序列为例，FFT将计算时间缩短为原来的1/100，从而

5、使数字信号处理从一个计算数学的分支变为一门应用科学，逐步走向实用技术.在Cooley-Tukey算法提出之后，Sande提出了按照频率抽取的FFT算法，它可以作为按照时间抽取的Cooley-Tukey算法的对偶形式。Bergland提出了采用高基数结构的算法，如基-4或基-8算法能够达到更高的计算效率。增大基数虽然可以减少计算量，但同时每个计算单元的结构也更复杂。基4算法比基2算法所需的乘法次数减少了约1/4。当采用高于4的基数r时，虽然总的乘法次数更少，但比基4算法中所需的复乘次数减少得并不显著，并且r点

6、的DFT中将包含乘法运算，因此实际应用中多采用基4算法。Bergland对任意因子的FFT算法也作了研究，提出了统一的FFT方法，即任意因子的FFT运算都可以由r(r是基数)点的DFT运算和与旋转因子相乘的运算来实现，Cooley-Tukey算法和Sande-Tukey算法都可以看作统一的FFT算法的特例，即基数r都相同。对于输入数据是实数情况，可以将N点的DFT运算转换为N/2点的DFT运算，或者同时计算两个实序列的DFT，都可以采用FFT算法。从七十年代中期开始，基于素因子分解的FFT算法重新得到了重视

7、。事实上，在Cooley-Tukey算法提出之前，Good就提出用点数互素的短点数DFT运算组合来实现长点数DFT运算，并且这种实现方式不会引入附加的乘旋转因子的运算。在素因子算法中利用了数论中的中国余数定理，将一维DFT运算映射为标准的多维DFT运算，而各素因子的DFT运算可以通过循环卷积算法完成。在素因子算法中，由于避免了乘旋转因子的运算，因此比Cooley-Tukey算法的乘法运算次数要少得多，而加法次数与之相当。基于素因子分解的另一种快速算法是由IBM公司的Winograd博士提出的，可以称为WFT

8、A算法。WFTA算法有两个主要思想：一是用Rader提出的方法将小N点DFT转换为循环卷积，利用多项式理论使卷积计算具有尽可能少的乘法次数;二是将小N点DFT运算进行嵌套来完成大N点的DFT运算。WFTA算法比素因子算法的乘法次数更少，而加法次数差别不大。但WFTA算法也有一些突出的问题，如算法不能采用原位运算，需要占用较大的存储空间，更重要的是，随着变换点数N的不同，为使运算所需的加法次数最少，要求采用不同的运