三次样条插值的MATLAB实现

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1、程序设计期中考查在许多问题中，通常根据实验、观测或经验得到的函数表或离散点上的信息，去研究分析函数的有关特性。其中插值法是一种最基本的方法，以下给出最基本的插值问题——三次样条插值的基本提法：对插值区间进行划分：，函数在节点上的值，并且如果函数在每个小区间上是三次多项式，于上有二阶连续导数，则称是上的三次样条函数，如果在节点上还满足条件则称为三次样条插值函数。三次样条插值问题提法：对上给定的数表如下.…………求一个分段三次多项式函数满足插值条件式，并在插值区间上有二阶连续导数。这就需要推导三次样条插值公式：记在节点处的值为()(这不是给定插值问题数表中的已知值)。在每个小区

2、间利用三次插值公式，得三次插值公式：，。为了得到这个公式需要个条件：(1).非端点处的界点有个；(2).一阶导数连续有个条件；(3).二阶导数连续有个条件，其中边界条件：其中：且()。，为对应变量的一阶导数。其推导过程如下：为了确定的值，把展开为：+这里，对连续求两次导，得：。于是考虑在节点处的右极限值，得：。同理，在相邻小区间上可得的表达式为：及在节点处的左极限值为：。利用二阶导数于节点处的连续性条件，这里，有下式成立：，用除等式两边，并注意，上式可简记为：且最后求得的线性方程组为：(**)通过以上复杂的求解和迭代，就可以求解出插值函数的近似表达式。得出来的表达式就可以用

3、软件来求解。具体求解过程如下：已知对数据点，假设函数关系为，但解析式不确定，数据插值就是构造函数关系式，使，满足关系。例题：求满足下面函数表所给出的插值条件的三次自然样条函数。12451342分析：表中所列出的是函数对点，首先要把对应的插值函数求出来，再用软件来求区间上间隔为0.5的各点的值。求解过程如下：因自然样条插值函数的边界条件为这里，故确定的方程组形式形如上面的(**)式，其中系数和可按如下步骤进行：将上述参数带入(**)式，得到以下方程组：解得：由公式+可知，由所求出的表达式可知区间可分为，对两个区间分别用命令即可：针对第一个区间：;其图像如下命令如下：x=1:4

4、;y=(-1/8)*x.^3+(2/8)*x.^2+(7/4)*x-1;xi=1:0.5:4;y1=interp1(x,y,xi,'spline')其运行结果如下：y1=Columns1through60.87501.76562.50002.98443.12502.8281Column72.0000针对第二个区间：