平稳随机过程

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1、1平稳随机过程的谱分析第三章2本章要解决的问题随机信号是否也可以应用频域分析方法?傅里叶变换能否应用于随机信号？相关函数与功率谱的关系功率谱的应用白噪声的定义33.1随机过程的谱分析一预备知识1付氏变换设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t)满足在范围内满足狄利赫利条件绝对可积，即信号的总能量有限，即有限个极值有限个断点断点为有限值4则的傅里叶变换为：其反变换为：称为的频谱密度，也简称为频谱。包含：振幅谱相位谱52帕塞瓦等式即能量谱密度3.1.1实随机过程的功率谱密度6二随机过程的功率谱密度应用截取函数7当x(t)为有限值时，

2、的傅里叶变换存在应用帕塞瓦等式除以2T取集合平均8令，再取极限，交换求数学期望和积分的次序功率Q非负存在（1）Q为确定性值，不是随机变量（2）为确定性实函数。注意：9两个结论：1表示时间平均若平稳210功率谱密度：描述了随机过程X(t)的功率在各个不同频率上的分布——称为随机过程X(t)的功率谱密度。对在X(t)的整个频率范围内积分，便可得到X(t)的功率。对于平稳随机过程，有：11例：设随机过程，其中皆是实常数，是服从上均匀分布的随机变量，求随机过程的平均功率。解：不是宽平稳的12133.1.2实平稳功率谱密度与自相关函数之间的

3、关系确定信号：随机信号：平稳随机过程的自相关函数功率谱密度。1维纳—辛钦定理若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：1415推论：对于一般的随机过程X(t)，有：平均功率为：利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳—辛钦定理表示成：163．单边功率谱由于实平稳过程x(t)的自相关函数是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。有时我们经常利用只有正频率部分的单边功率谱。17例：平稳随机过程的自相关函数为，A>0，，求过程的功率谱密度。解：应将积分按＋和－分成两部分进行

4、18例：设为随机相位随机过程其中，为实常数为随机相位，在均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随机过程，自相关函数为求的功率谱密度。19解：注意此时不是有限值，即不可积，因此的付氏变换不存在，需要引入函数。20例：设随机过程，其中皆为常数，为具有功率谱密度的平稳随机过程。求过程的功率谱密度。解：21平稳随机过程功率谱密度的性质一、功率谱密度的性质1功率谱密度为非负的,即证明：2功率谱密度是的实函数223对于实随机过程来说，功率谱密度是的偶函数，即证明：是实函数又234功率谱密度可积，即证明：对于平稳随机过程，有：平稳随机过程的均方

5、值有限24二谱分解定理1谱分解在平稳随机过程中有一大类过程，它们的功率谱密度为的有理函数。在实际中，许多随机过程的功率谱密度都满足这一条件。即使不满足，也常常可以用有理函数来逼近。这时可以表示为两个多项式之比，即25若用复频率s来表示功率谱密度，那么，对于一个有理函数，总能把它表示成如下的因式分解形式：26据平稳随机过程的功率谱密度的性质，可以导出关于的零、极点的如下性质：（1）为实数。（2）的所有虚部不为0的零点和极点都成复共轭出现。（3）的所有零、极点皆为偶重的。（4）M＜N。272谱分解定理根据上面的性质，可将分解成两项之积

6、，即：其中（零极点在s上半平面）（零极点在s下半平面）且谱分解定理此时283为有理函数时的均方值求法（1）利用（2）直接利用积分公式（3）查表法（4）留数法29补充知识：留数定理设为复变量s的函数，且其绕原点的简单闭曲线C反时针方向上和曲线C内部只有几个极点则：一阶留数二阶留数30上式积分路径是沿着轴，应用留数法时，要求积分沿着一个闭合围线进行。为此，考虑沿着左半平面上的一个半径为无穷大的半园积分。根据留数定理，不难得出31功率谱密度和复频率面（只是记号相同，函数形式不同）32例:考虑一个广义平稳随机过程X(t)，具有功率谱密度求

7、过程的均方值解:用复频率的方法来求解。用代入上式得用复频率s表示得功率谱密度：33因式分解：在左半平面内有两个极点：-1和-3。于是可以分别计算这两个极点的留数为：故：343.2两个实随机过程的互功率谱密度一、互谱密度考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)，它们的样本函数分别为和，定义两个截取函数、为：35因为、都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。在时间范围(-T，T)内，两个随机过程的互功率为:（注意、为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均）由于、的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即:36注意到上式中

8、，和是任一样本函数，因此具有随机性，取数学期望，并令得：37定义互功率谱密度为：则38同理，有：且39二、互谱密度和互相关函数的关系自相关函数功率谱密度F互相关函数互谱密度F定义：对于两个实随机过程X(t)、Y(t)，其互谱密度与互相关函数之间的关