2020版高考数学第四章三角函数、解三角形10第8讲解三角形应用举例新题培优练文新人教A版

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1、第8讲解三角形应用举例[基础题组练]1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)A．北偏东10°　　　　　　　　B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°解析：选D.由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.2．一艘船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这

2、个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为(　　)A．15kmB．30kmC．45kmD．60km解析：选B.如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理，得＝，解得BM＝30，故选B.3．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为(　　)

3、A．8km/hB．6km/hC．2km/hD．10km/h解析：选B.设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝＝，从而cosθ＝，所以由余弦定理得＝＋12－2××2×1×，解得v＝6.4．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是(　　)A．5kmB．10kmC．5kmD．5km解析：选C.作出示意图(如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在△A

4、BC中，有∠BAC＝60°－30°＝30°，B＝120°，AC＝15，由正弦定理，得＝，即BC＝＝5，即这时船与灯塔的距离是5km.5．海上有A，B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是________nmile.解析：如图，在△ABC中，AB＝10，A＝60°，B＝75°，C＝45°，由正弦定理，得＝，所以BC＝＝＝5(nmile)．答案：56．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠

5、CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则这条河的宽度为________．解析：如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求河的宽度．在△ABC中，因为∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，所以∠ACB＝75°，所以AC＝AB＝120m.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝120sin30°＝60(m)，因此这条河的宽度为60m.答案：60m7．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以

6、及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，求山高MN.解：根据图示，AC＝100m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得＝⇒AM＝100m.在△AMN中，＝sin60°，所以MN＝100×＝150(m)．8．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9nmile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/

7、h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．解：如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为th，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×，即360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为h.此时AB＝14，BC＝6.在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以sin∠CAB＝＝，即

8、∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)，即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需h才能靠近渔轮．[综合题组练]1．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　　)A．7kmB．8kmC．9kmD．6km解析：选A.在△ABC及△ACD中，由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos(π－∠D