高考数学一轮复习专题22两角和与差的正弦、余弦和正切公式（含解析）

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1、专题22两角和与差的正弦、余弦和正切公式最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).基础知识融会贯通1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－si

2、nαsinβ(C(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))tan(α－β)＝(T(α－β))tan(α＋β)＝(T(α＋β))2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝.【知识拓展】1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3．辅助角公式：asinx＋bco

3、sx＝sin(x＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.重点难点突破【题型一】和差公式的直接应用【典型例题】求值：sin24°cos54°﹣cos24°sin54°等于（　　）A．B．C．D．【解答】解：sin24°cos54°﹣cos24°sin54°＝sin（24°﹣54°）＝sin（﹣30°）＝﹣sin30°，故选：C． 【再练一题】若sinα，α∈（），则cos（）＝（　　）A．B．C．D．【解答】解：∵sinα，α∈（），∴cosα，∴cos（）（cosα﹣sinα）．故选：A． 思维升华(1)使用两角和与差的三角

4、函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．【题型二】和差公式的灵活应用命题点1　角的变换【典型例题】已知tan（α）＝﹣2，则tan（）＝（　　）A．B．C．﹣3D．3【解答】解：∵tan（α）＝﹣2，则tan（）＝tan[（α）]，故选：A． 【再练一题】若sin（）＝2cos，则（　　）A．B．C．2D．4【解答】解：∵sin（）＝2cos，∴sinαcoscosαsin2cos，即sinαcos3cosαsin，∴tanα＝3tan，则，故选：B． 命题点2　三

5、角函数式的变换【典型例题】若，且，则（　　）A．B．C．D．【解答】解：∵α，∴π＜2α，又，∴cos2α．∴，解得cosα，则sinα．∴．故选：D． 【再练一题】已知sinα+3cosα，则tan（α）＝（　　）A．﹣2B．2C．D．【解答】解：∵（sinα+3cosα）2＝sin2α+6sinαcosα+9cos2α＝10（sin2α+cos2α），∴9sin2α﹣6sinαcosα+cos2α＝0，则（3tanα﹣1）2＝0，即．则tan（α）．故选：B． 思维升华(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”

6、用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．基础知识训练1．【辽宁省辽阳市2019届高三下学期一模】已知α∈（），tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°，则sinα＝（　　）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：由tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°＝sin（7

7、6°﹣46°）＝sin30°，且α∈（），∴α∈（0，），联立，解得sinα．故选：A．2．【福建省2019年三明市高三毕业班质量检查测试】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点.若角满足，则（）A．-2B．C．D．【答案】B【解析】因为角的终边过点，所以，又，所以，即，解得.故选B3．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查考试】（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选：B4．【河南名校联盟2018-2019学年高三下学期2月联考】已知，则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵

8、，∴．∴．故选D．5．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟考试】已知，则(　　)A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，且解得，故选A.6．若，则()A．B．C．D．【答案】D【解析】tan（α-β）＝3，tanβ＝2，可得3，∴，解得tanα．故选：D．