电子在库仑场中的运动

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1、§3.3电子在库仑场中的运动背景：H原子，类氢原子（如），将e+核的相互作用及动能，分为二体质心平动和电子与核的相对运动，即核静止而电子绕核运动，为折合质量1.能量本征方程体系的哈密顿算符其中拉普拉斯算符在球坐标下可表示为，可将第一项看作径向动能，二三项看作角向动能。而势能仅与有关，与无关，提示（1）可将第一项+与二、三项分离变量，（回忆数理方程，若则（可分离）（2）能量本征态可能与无关，对于的不同状态，能量简并。能量本征方程：2.分离变量设理由：中有，与无关将（6）代入（5）式，并移项得（7）式左边=r的函数，右边=的函数，二者相等，仅当同等于常数时才成立：左

2、=，再，得:右=，得:（9）式，即为上节的角动量平方算符的本征值方程，而(8)式则称为径向方程。由上节知（10）代入径向方程：当，任意都可使上式成立，波函数条件成立，体系能量又连续谱。当，有分立谱（束缚态）时波函数条件才成立。3.化简方程（1）方程第一项可写为，验证：可令变换函数（12）并得所满足的方程:（2）在代换：变换自变量。变换的目的：化为某种已知的数理方程标准形式。方程（13）变为(3)求公式（15）的渐近解：令则[]只有：其解为而与波函数有限性相抵触，舍去。所以取代回（15）式中，消去得的方程:4.求解方程（17）的本征值设级数解：为什么要才可使在处有

3、限。将（18）代入（17）方程中：若级数为幂级数，则当,（19）,与相同行力,而,会使在发散，不满足波函数条件。必须使在有限项处断为多项式！拉盖尔多项式：设最多次项为即而，则(19)式分子为0，得：又一技巧:而从0开始，不含即而,当必须使上式分母为0，才成立。即由数理方程可知，s的解只能取：（22）代入（20）式中再令。称为径向量子数，而为总量子数或主量子数。由于与都为正整数或0，将代回定义式（14）中：此即为电子在氢原子中处于束缚态的能级公式，简称H原子能级公式。在电子能量（束缚态）时，只有当电子能量不连续取值，即量子化，才可使波函数满足有限性条件。实际测量中

4、，电子在任一可能状态的波函数在任一地点都应有限。这就要求只能取分立值。这二方面已由实验证实。5.径向波函数（1）将代入式中，可以把用表示，代回(18)式中，将提出：为缔合拉盖尔多项式将解（26）代回（16）：在将此二式代回到（12）中，并注意到的定义式(14)和：(23)式有定义：为第一玻尔半径（无量纲半径）最后得到电子的径向波函数（标注量子数）为归一常数。（2）归一化由波函数归一化条件：由于球谐函数已归一化，在数理方程中已算出（利用函数，及)（3）的前几个例子所以在库仑场中运动的束缚电子（E<0）的定态波函数：6.能级简并度库仑场市中心力场(辏立场)具有反演对

5、称性库仑静电能仅与有关，而与无关，前一对称性造成电子能级对m简并，后一对称性造成对简并波函数由三个量子数决定，而电子能级仅由一个量子数（主量子数n）决定，即一个能级对应多个波函数所描写的状态，所以电子能级是简并的。对任一个可以取n个值，根据式（23）式（35）对任一个值，独立的阶求函数共有个：，一个各有两个写为复函：为何:若则求次导数为0所以对任一对第n个能级，共有个波函数，所以电子的第n个能级是度简并的，即除了基态以外，激发态为度简并。第k激发态为度简并。