专题3.2 定积分与微积分基本定理-2015版3-2-1备战2016高考精品系列之数学(理)(原卷版)

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第三章 导数专题2 积分与微积分基本定理【三年高考】[来源:学科网ZXXK]1. 【2015高考湖南,理11】 .2.【2015高考陕西,理16】如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .3.【2015高考天津,理11】曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 .4. 【2014江西高考理第8题】若则( )A. B. C. D.15. 【2014山东高考理第6题】 直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A. B. C. D.46. 【2014陕西高考理第3题】定积分的值为( ) 7. (2013年高考江西卷理科6)若 ,则s1,s2,s3的大小关系为( ) A. s1<s2<s3 B. s2<s1<s3 C. s2<s3<s1 D. s3<s2<s1 8.(2013年高考北京卷理科7)直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于( )A. B.2 C. D.【2016年高考命题预测】定积分属于理科内容,从近几年的高考试题来看,定积分重点考查定积分的应用,利用定积分求值,求面积,题型为选择题或填空题.作为初等数学与高等数学的衔接点,定积分是本章的另一个重要的概念,它可以看作是导数在某一区间上的逆运算.它是新课标新增加的内容之一,在以前的课本中没有出现定积分的概念,在高考中主要考查定积分的计算和定积分的几何意义,多为容易题,频率不算高,但也不应忽视,随着新课标的实施与教育工作者对校本研究工作的开展,相信在2016年的高考试题中应该有所体现.预测2016年高考对定积分考查,可能是利用定积分求值,或与几何概型结合出题,定积分的应用求封闭图形的面积.【2016年高考考点定位】[来源:Zxxk.Com]高考对定积分的考查主要有定积分的计算和定积分的几何意义,作为新增内容,它是大学微积分的基础,很受出题人的青睐,故在复习时应引起重视.考点一、求已知函数的定积分【备考知识梳理】[来源:Z&xx&k.Com]1、定积分的概念如果函数在区间 上连续,用分点将区间 等分成个小区间,在每个小区间 上任取一点 ,作和式 ,当 时,上述和式无限接近某个水常数,这个常数叫做函数在区间上的定积分,记作,即 2、微积分基本定理如果是区间上的连续函数,并且 ,那么 ,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿——莱布尼兹公式.3、定积分的基本性质(1),其中 为常数(2)(3),其中 【规律方法技巧】1.求函数的定积分,关键是求出函数的一个原函数,即满足.正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系.2.计算简单定积分的步骤(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差;(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差;(3)分别用求导公式找到F(x),使得F′(x)=f(x);(4)利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值;(5)计算所求定积分的值.3.求导运算与求原函数运算互为逆运算,求定积分的关键是找到被积函数的原函数,为避免出错,在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.【考点针对训练】1.【2015届吉林省吉林市高三第三次模拟考试理科】等于( )A. B. C. D.2. 【2015届北京市昌平区高三二模理科】( )A. B. C.1 D.6考点二、求分段函数的定积分【备考知识梳理】1、分段函数的定积分[来源:学科网ZXXK](1)分段函数在区间 上的定积分可分成几段定积分的和的形式.(2)分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的,一般按照原函数分段的情况分,无需分得过细.2、奇函数与偶函数在对称区间上的定积分若为偶函数,且在关于原点对称的区间上连续,则 若为奇函数,且在关于原点对称的区间上连续,则 【规律方法技巧】分段函数在区间上的定积分可分成几段定积分的和的形式. 分段的标准只需依据已知函数的分段标准即可.【考点针对训练】1.求函数 在区间 上的定积分.考点三、定积分的几何意义【备考知识梳理】 1、当函数在区间上恒为正时,定积分的几何意义是直线 和曲线围成的曲边梯形的面积;2、一般情况下,定积分的几何意义是介于 轴、曲线和直线之间的曲边梯形的面积的代数和,其中在 轴上方的面积等于该区间上定积分值,轴下方的面积等于该区间上定积分的相反数.【规律方法技巧】1.利用定积分求平面图形面积的关键是画出几何图形,结合图形位置,确定积分区间以及被积函数,从而得到面积的积分表达式,再利用微积分基本定理求出积分值.2. 定积分的应用及技巧:(1)对被积函数,要先化简,再求定积分.(2)求被积函数是分段函数的定积分,依据定积分的性质,分段求定积分再求和.(3)对含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能求定积分.(4)应用定积分求曲边梯形的面积,解题的关键是利用两条曲线的交点确定积分区间以及结合图形确定被积函数.求解两条曲线围成的封闭图形的面积一般是用积分区间内上方曲线减去下方曲线对应的方程、或者直接作差之后求积分的绝对值,否则就会求出负值.[易错提示] 在使用定积分求两曲线围成的图形的面积时,要注意根据曲线的交点判断这个面积是怎样的定积分,既不要弄错积分的上下限,也不要弄错被积函数.用微积分基本定理求定积分时,要掌握积分与导数的互逆关系及求导公式的逆向形式.3.定积分的应用主要有两个问题:一是能利用定积分求曲边梯形的面积;二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题,其中,应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别.【考点针对训练】1.【2015届河南省濮阳市高三上学期期末】如图,在正方形内任取一点,取到函数的图象与轴正半轴之间(阴影部分)的点的概率等于( )A. B. C. D.2.【2015届山东省实验中学高三第一次模拟】由函数的图象,直线及轴所围成的阴影部分面积等于( )A. B. C. D.【两年模拟详解析】1. 【2015宁夏银川九中高三年级期中试卷】函数的最小值为,则等于( )A.2 B. C.6 D.72. 【福建省厦门双十中学2015届高三上学期期中】已知函数,则等于 .3. 【2015届辽宁省朝阳市三校协作体高三下学期开学联考】已知,则展开式中,的一
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