高一数学人教A版必修1学案：课堂导学32函数模型及其应用含解析

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1、课堂导学三点剖析一、常见函数模型【例1】(一次函数模型)某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价20元,茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按总价的92%付款.某顾客需购茶壶4个，茶杯若干(不少于4个)，若需茶杯x个，付款数为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x的函数关系，并讨论顾客选择哪种优惠方法更合算.思路分析:本题考查的是建立一次函数模型,并应用一次函数模型解决实际问题的能力.第一种优惠方法屮，实际付款是4个茶壶的钱和(x・4)个茶杯的钱.第二种优惠方法只需将货款总数乘以92%,而后再作差

2、比较二者的大小即可.解:由优惠办法⑴可得函数关系式:yi=20X4+5(x・4)=5x+60(x$4),由优惠办法(2)可得函数关系式：y2=(5x+4X20)X92%=4.6x+736比较:yi-y2=0.4x-13.6(x^4).①当0.4xJ3.6>0,艮卩x>34时,y)>y2,即当购买茶杯个数大于34吋，优惠办法(2)合算.②当0.4x-13.6=0,即x=34时，两种优惠办法一样合算.③当0.4x・13.6V0,艮卩4Wx<34时,yi

3、类讨论.2.用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模.函数模型是应用最广泛的数学模型之一许多实际问题一旦认定是函数关系，就可以通过研究函数的性质把握问题并解决问题•读题是解决实际问题的重要环节.一般的实际问题的叙述都比较长，需要逐字逐句地把问题看懂，这是建立数学模型的前提.二、利用函数模型分析问题【例2](指数函数模型)按复利计算利息的一种储蓄，设本金为a元，每期利率为r,存期为x,写出本金和利息总和y(元)与x的函数表达式.如果存入本金10000元，每期1.98%,试计算5期后，本息总和是多少？思路分析:本题考查的是与

4、我们生活中息息相关的储蓄问题，其数学模型是指数函数.由题意知，每期到期后，其本利总和是前一期的(1+r)倍，所以可从第一期开始以此类推.解:•・•本金为a元，1期后本息和为a+ar=a(l+r);2期后本息和为a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2;3期后本息和为a(l+r)2+a(l+r)2i-a(l+r)3;x期后本息和为y=a(l+r)x.将a=10000,x=5,r=1.98%代入上式得，y=10000(l+1.98%)5=ll029.99(元).温馨提示在实际问题中，常遇到有关平均增反率的问题，若基数为a,平均增长率

5、为p,则总量y与时间x的关系式为y=a(l+p)x,jJt为指数型函数.各个击破类题演练1(二次函数模型)某旅店有客房300间,每问日房租为20元，每天客满.旅店欲提高档次,并提高租金，如果每间客房每日增加2元,客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅店将租金定为多少时，每天客房的总收入最高？解析：设定租金x元，总收入最高，则总收入y=x(300xl0)=-5[(x-40)2-l600],2当x=40时，y最大且最大值为5x1600=8000(元).答案：40元变式提升1某工厂生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一件产

6、品成本增加100元，己知总收益R(总收益指工厂出售产殆的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：元)是年产量(单位：件)的函数.满足关系式：R=f(Q)=400©_丄/o<2<40080000,Q>400.(1)将总利润L(单位：元)表示为Q的函数；(2)求每生产多少件产品吋、总利润最大？此吋总利润是多少?解析：(1)根据题意，总成本应为C=g(Q)=20000+100Q,从而可得总利润函数为L=(p(Q)=1,400Q——0—(20000+1000,0400,B

7、J口—*02

8、+3002-20000,0400.(2)当0WQW400时，L=--(Q-300)2-20000+45000=-丄(Q-300)2+25000.22此时当Q=300时，L戯大=25000；当Q>400吋，L=60000-100Q<60000-100X400=20000<25000；所以，当Q=300时，Lg=25000.答：每年生产300件产品时，总利润最大，最大利润为25000元.类题演练2某企业计划发行企业债券，每张债券现值500元，按年利率6.5%的复利计息，问多少年后每张债券一次偿还本

9、利和1000元？(参考lg2=0.301OJgl.065=0.0274).解析:设n年后每张债券一次偿还本利和1000元，由1000=500(1+6.5%)",解得n=lg2/lg1.065~11.答：11年后每张债券应一次偿还本利和