高中数学竞赛标准讲义---排列组合与概率

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1、高中数学竞様淮兴・排列组合与概率一、基础鈿1.加法原理：做一件事有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中有m种不同的方法，，，，在第n类办法中有m种不同的方法，那么完成这件事一共有N二mi+rri2+,+Rln种不同的方法。2.乘法原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m种不同的方法，第2步有m种不同的方法，”，第n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有N=irhxrnx,x尬种不同的方法。mA=n(n-1),n3.排列与排列数：从n个不同元素中，任取n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素

2、的一个排列，从n个不同元素中取出m个(m

3、——十7J:==nmn(n1)(nm1)n!-(n=—=+_—=6.(组合数的基本性质：pm1)5++…+=》=nmC；(2)n++…mCn€3)mn1cc++=++n1kk；c=IC=1nnn1C；(4)nkkk31nkmnk01;CkccC；CnC(5)(6)Conknk1kmkm1knmCnCCC2nnn7.k0定理1：不定方程Xl+X2++Xn=:r的正整数解的个n1C0r1数为［证阴各r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A,不定方程xi+x尹，+Xn=rJnm!m!m)!的正整数解构成的集合为B,A的每个装法对应B的

4、唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。MB中每一个解(xms,将Xi作为第i个盒子中球的个数，匸1,2,,,便得到A的一个装法，因此为满射，所以兔映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选1个，将球分n份，共有n1C种。故定r1理得证。推论不定方程Xi+X2+,+Xn=r的非负整数解的个数为c1.n推论从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合，其组合数为mC+-・nm18.二项式定理:若nwM,则(a+b)n=口0Cnan11CabnCabn一+…n「rnn•

5、其中CabCbnn第r+1项Tr+i=Qab,C叫二项式系数。n——在大量重复进IB—9•随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。试验时，事件A发生的频m总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件生的概率，记傑A),0

6、An)=P(A1)+P(A2)+,+p(An).12.对立事件：事件AB为互斥事件，且必有一个发生，则AB叫对立事件，记A的对立事件为Ao由定义佩A)+p(A)=1.13.相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。14.相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生A相互独立，那么这n个事件同吋发的概率的积。撫A?B)二p(A)?p(B).若事件A,A,,,生的概率为P(Al?A?,?An)=p(A1)?p(A2)?,?p(An).15.独立重复试验：

7、若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他滦试验的结果则称这n次试验是独立的・16•独立重复试验的概率：如果在一次试验中，某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为pn(k)=fn・kk(1-p)C?pn17.离散型随机为量的1介布列：如身!随机试验的结果可以用-」个变量来表示那么这样t勺变,,10量叫随机变里，例如一0兀射击命中笊数§就是一个随机变量，g可以取的值有0,1,2,如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。一般地，设离散型随机变量§可能取的值为X1,X2,,,X

8、i,,取每一个值Xi(匸1,2,,)的概率p(g二为)二则移表gXi'X2X3XiPP1P2P3,Pi为随机变量g的概率分布，简称£的分布列，称Eg二XiP汁X2P