【精品】拉氏变换论文

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1、物理与电子信息工程学院学生学年论文（设计）目信号的拉氏变换法学生姓名学号专业年级指导教师二o—二年月曰物理与电子信息工程学院本科生学年论文指导记录、指导教师审阅意见表学生姓名学号院、系物理与电子信息工程学院专业电子信息工程班级指导教师职称论文题目指导记录：指导教师签名：学生签名：年月日指导记录：指导教师签名：学生签名：年月日指导记录：指导教师签名：学生签名：年月日指导记录：指导教师签名：学生签名：年月日指导教师审阅意见：（对学年论文完成情况及质量、工作能力及态度、思想表现、论文学术水平等进行总体评价）成绩：指导教师签名：年月日信号的

2、拉氏变换法摘要：本文给出了常微分方程（组）的基本概念性质及两种解法和在MATLAB中的拉普拉斯算法，常微分方程属于数学分析的一支，是数学中与应用密切相关的基础学科，其自身也在不断发展中，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要.而用常数变易法解常微分方程及方程组往往是比较繁琐的，而且必须经过积分运算，这无异于又增加了题目的难度.而拉普拉斯变换是实变量函数和复变量函数间的一种函数变换.对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接

3、在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多.关键词：常微分方程；拉普拉斯变换法；MATLAB引言：常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等•这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题•应该说,应用常微分方程理论已经収得了很大的成就，但是，它的现有理论也述远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善.微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解

4、•牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解.后来瑞士数学家雅各布•贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、大朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论.常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的.数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的T具.牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个T具，从理论上得到了行星运动规律.后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家

5、亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚耒发现的海王星的位置.这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量.拉普拉斯变换是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换.对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多.1MATLAB中的拉普拉斯变换法用MATLAB求方程cos⑶）-sin（-2+/）2和方程-2symsty=input（，请输入公式'）fat=y;fas=laplace(fat)s

6、ubplot(2,1,1)ezplot(fat)subplot(2,1,2)ezplot(fas).Figure1图1cos⑶)-sin(-2+r)2图2t2-22对比两种方法在常微分方程中的求解例1：求方程普一x=0满足初始条件x(O)=0的解.解：对方程两端施行拉普拉斯变换，得到方程的解的像函数所满足的方程5X(5)-X(0)-X(5)=——由此，注意到x(O)=O,得X(5)=11s—2s—1•直接查拉普拉斯变换表，可得丄和丄的原函数分别为八和s—2s—1因此，利用线性性质，就求得X(s)的原函数为x(t)=e2t-et・这就

7、是所要求的解例2：求方程x+x=-^—的通解.cost解：对应的齐次线性微分方程为兀"+兀=0,特征方程=0的根为人=希=i.所以原方程对应的齐次微分方程的基本解组为cos/,siiu,应用常数变易法，令x=c()cosf+C2⑴Siiu将它代入方程，则可得决定q⑴和彳⑴的两个方程.costc{(/)+sintc2(f)=0及一sintc[(/)+costc2(r)=■解得：q(/)=-竺丄,c»2(f)=l・积分得：Cj(r)=ln

8、cosr

9、+/pc2(r)=r+/2,于是COSt原方程的通解为：x=/,cosr+/2sinz+

10、costIncos/+rsinr,Mt1儿必为任意常数•通过上面的例题我们发现用常数变易法求解往往是比较繁琐的，而月•必须经过积分运算，这无异于又增加了题忖的难度。而拉普拉斯变换法把常系数线性微分方程转换成复数s的代数方程，再通过代数