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1、（2008届毕业论文）题U浅谈反证法在中学数学解题中的应用院系数学系专业数学与应用数学指导教师官晓莉学生姓名干.明争学生学号2004011147浅谈反证法在中学数学解题中的应用玉溪师范学院数学系04级（1）班王明争2004011147指导教师：官晓莉［摘要］:反证法是从问题的反而思考的证明方法,此方法可使许多问题处理起来相当简捷,所以反证法是一种常用的、重要的数学思想方法。本文从以下儿方而论述了反证法在中学数学解题中的应用，1.证明不可能命题；2.证明“唯一性”命题；3.证明有些涉及无理数的命题；4.证明有些几何量的画法；5.证明涉及“至多”和“至少”的问题。［关键词］:反证法解决数学问题应
2、用刖«有些命题采用直接证法不容易、甚至不能证明，这时，可以采用一种间接证法——反证法，其逻辑根据是排中律。因为有时证原命题不易下手，则改证与其等价的逆否命题，从而使原命题得证。反证法是证明原命题的逆否命题，即要证命题“若A则B”成立，需证明其逆否命题“若不B则不A”成立，也就是说,要把原命题屮的结论加以否定，然后经过各种推理而达到否定原命题屮的已知条件，既要达到与已知条件、公理、定理相矛盾的结论。这就间接证明了原命题。一、反证法的定义证明定理的一种方法，先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定屮得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理。也叫归谬法。二、反证法的证
3、明步骤、关键和适用范围步骤：1.假设原命题的反面结论成立；2.把这个假设看作是已知条件，从这个条件出发推出与已知条件、定理、公理相矛盾或白相矛盾的结论；3.从而肯定原命题的结论成立。应用反证法的命题结论，必须肯定明确，非此即彼，不能模棱两可。关键：应用反证法推理的关键在于推出矛盾，要注意：1.要想据理推出矛盾，切不可离开已知条件去主观臆造所谓“矛盾”，必须同直接证法一样，紧扣条件,方能推出矛盾；2.推证过程必须步步有据，否则，即使推出矛盾，也很难说明命题的反而不成立。适用范围：证明一•些命题，口正面证明有困难，情况多或复杂,而否定则比较浅显。常见的（1）证题的结论是否定型的；（2）证题的结论
4、涉及唯一性的；（3）证题的结论涉及到无穷性的；（4）证题的已知条件能直接导出的知识很少的。三、在解题屮的应用1.证明不可能命题证明不可能问题，可先假设原命题会出现这种可能，由此出发推出与已知条件或定义或定理或常识相矛盾的结论或推出口相矛盾的结论即可。b2例1数列｛a”｝满足a1=2b,a„=2b-（b是不为零的常数），求证：b不可能%]是数列｛j｝的项⑸。分析：此题用有关数列的知识来解决有很大的难度，我们可反其道而行之，证明它的逆否命题成立，即也就肯定了原命题的结论。证明：（1）因为b不等于0,所以ci=2bwb即n=l时命题成立；2（2）假设n二k时，命题成立，即akb.若％]则2b-L
5、二b,解之的这与a*工b矛盾。叽工b,即n二k+1时命题成立。例2.求证：圆内非直径的两弦不可能互相平分⑶。已知：如图，AB,CD是圆0内非直径的两弦。求证：AB,CD不能互相平分。分析：本题结论的反面AB和CD能相互平分，十分简单、明确，故可试用反证法。证明：假设AB,CD互相平分于一点。由已知条件P点与圆心0不重合。连结OP,那么0P丄CD,OP丄AB。也就是过P点有两直线AB,CD同时垂直于0P,这与定理“经过一点，有見只有一条直线垂直于已知直线”相矛盾。所以，AB,CD不能互相平分。评注：一般地，涉及弦中点问题的可连结圆心与弦中点，这样，就能利用垂径分弦定理。1.证明“唯一性”命题在
6、儿何中需要证明符合某种条件的图形只有一个时，称为“唯一性”问题。当然，也可以用同一法来证明，但要注意检查命题是否符合同一原理，有的题冃不容易看出是否符合同一原理，此时用反证法耍简捷。例1.证明一个圆只有一个圆心⑷。分析：可事先假设一个圆有两个圆心，以此为条件推出与已知相矛盾的结论。即用反证法来证Z。证明：假定一个圆有两个圆心0和A,在圆内作弦CD,取屮点E,连接OE、AE,则0E1CD,AE1CD,这样过直线CD上一点E同时有两条直线OE、AE1CD,与经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线的基本性质矛盾。所以，一个圆只有—•个圆心。例2.求证：由直线L外一点A只能引一条直线垂直于直线「引。
7、已知：直线L和L外一点Ao求证：过A只能引一条直线垂直于L。证明：假设过A可引两条直线AB和AC垂直于L,交L于B.C点,那么ZABC=90°,ZACB=90°o所以在MBC屮，O+ZB+ZC>180°o这与三角形内角和定理孑盾。故原命题成立。1.证明无理数的命题由于无理数的特殊性，有关无理数的证明题，用一般的方法很难给出证明,此时用反证法往往比较简捷。例1.证：实数d是无理数⑶。证明：假设血不是无理数，而是
