2例谈常用方法证明不等式

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1、例谈常用方法证明不等式1比较法题1已知，求证.证法1(作差法)(1)当时，因为，所以(2)当时，因为，所以所以，总有.证法2(作商法)所以2综合法题2已知，求证.证明因为，所以3分析法题3证明：N*).证明即证N*).而该式左边，右边所以只需证明而它们均显然成立，所以欲证成立.4判别式法题4证明R).证明即证，令只需证明该二次函数的判别式：5换元法题5设R，求证.证明可设，得6函数的单调性法题6若R，求证.证明由题设及均值不等式，得.又在(0,1)上是减函数，所以.注：由例5的结论及均值不等式也可证得本题.7放缩法题7若R，求证.证明8累加法题8求证N*).证明可用分析法证得N*)，

2、在此式中令后把它们相加可得欲证.9反证法题9已知R，求证.证明假设，得再平方，得这与矛盾！所以欲证成立.10数学归纳法题10证明N*).证明当时成立：.假设时成立：N*)，得所以N*)即时也成立，所以欲证成立.11均值不等式法题11设某三角形的三边长、半周长分别为，求证：.证明即证可证该式成立，所以要证结论成立：题12(2008年南京大学自主招生数学试题第二题)设为正数，且，求的最小值.证明由三元均值不等式，可得，又函数是减函数，所以由此可得所求最小值是.12导数法题13已知N求证.证明即证设，只需证即可，容易获证.13切线长代换法题14(全日制普通高级中学教科书(必修)《数学·第二

3、册(上)》(2004年人民教育出版社)复习参考题六B组第6题)设为的三条边，求证.证明如图1所示，设的内切圆为⊙I，从点出发的两切线长均相等，设为；点出发的两切线长均相等，设为；点出发的两切线长均相等，设为，则(这就是在证明有关三角形的不等式时用途广泛的切线长代换).图1所以要证不等式等价于即而这显然成立，所以要证结论成立.题15(第6届IMO试题第2题)假设是某三角形的三边长，求证：.证明由切线长代换知，可设R)，可得即证而由六元均值不等式知，该不等式成立，所以欲证成立.14构造函数法题16证明Cauchy不等式：R).证明当时，易知欲证成立.当时，构造二次函数因为当R时的值恒非负

4、，所以其判别式的值恒非正，由此也可得欲证.15构造图形法题17(2004年英国数学奥林匹克试题)若R，求证.证明由余弦定理可构造图2，从而获证.图216构造对偶式法题18求证：.证明设.由，得，所以参考文献1李长明，周焕山编.初等数学研究[M].北京：高等教育出版社，1995.253-2622陈传理主编.高中数学竞赛名师讲座[M].武汉：华中师范大学出版社，1993.60-612甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.262-265,526