[精品]外接球与内接球问题专题讲义

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1、胡博士专用讲义高一数学培优讲义2016年月日《外接球与内切球问题》☆例题精讲1.一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为.2.已知过球面上有三点的截面到球心的距离是球半径的一半，且，则此球的半径是.3.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的六分之一.且经过这3个点的小圆的周长为4π，这个球的半径R.4.同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、，则的值是．5.将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A﹣BCD，则四

2、面体A﹣BCD的外接球的体积为.6.3.[15新课标全国Ⅱ理]已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为.7.若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为．8.如图，三个半径都是10cm的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同于水平面，则这个碗的半径R=.9.已知底面边长为1，侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为．10．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为．3胡博士专用讲义☆[课堂练习]13.已知在直

3、角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D﹣ABC，当三棱锥D﹣ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为_________．14．[2015大庆三模]设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，∠BAC=90°，AA1=2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是.15.四棱锥的底面是正方形，侧棱与底面所成的角都等于60°，它的所有顶点都在直径为2的球面上，则该四棱锥的体积为.例1.正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．解：如图，球是正三棱锥的内切球，到

4、正三棱锥四个面的距离都是球的半径．是正三棱锥的高，即．是边中点，在上，的边长为，∴．∴可以得到．由等体积法，∴得：，∴．∴．例4.设棱锥的底面是正方形，且，，如果的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解： 平面，由此，面面.记是的中点，从而.平面，设球是与平面、平面、平面都相切的球.如图2，得截面图及内切圆不妨设平面，于是是的内心.3胡博士专用讲义设球的半径为，则，设,.,当且仅当，即时，等号成立.∴当时，满足条件的球最大半径为.3