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1、分院名称：数学学院学生学号：0707140247长春师范学院本科毕业论文（设计）（理工类）题口：对称性在积分计算屮的应用专业：数学与应用数学作者姓名：张畅指导教师姓名：周晨星指导教师职称：副教授2011年5月长春师范学院本科毕业论文（设计）作者承诺保证书本人郑重承诺：本篇毕业论文（设计）的内容真实、可靠.如果存在弄虚作假、抄袭的情况，本人愿承担全部责任.论文作者签名：日期：2011年5月日长春师范学院本科毕业论文（设计）指导教师承诺保证书本人郑重承诺：我已按有关规定对本篇毕业论文（设计）的选题与内容进行指导和审核，坚持一人一题制，确认由作者独立完成.如
2、果存在学风问题，本人愿意承担指导教师的相关责任.指导教师签名：口期：年刀日目录承诺保证书I1对称性在定积分中的应用11.1对称性在定积分应用中的重要结论11.2对称性在定积分中的应用举例32对称性在重积分中的应用52.1对称性在重积分应用中的重要结论52.2对称性在重积分中的应用举83对称性在线积分中的应用103.1对称性在线积分应用中的重耍结论103.2对称性在线积分中的应用举例124对称性在面积分中的应用134.1对称性在面积分应用屮的重要结论134.2对称性在面积分屮的应用举例145利用对称性构造积分165.1对称性在积分应用屮的其他重要结论16
3、5.2利用对称性构造积分的应用举例16参考文献19英文摘要20对称性在积分计算中的应用张畅摘要：本文归纳了对称性在积分计算中的一些重要结论，利用这些结论，使较复杂的计算变得简单，并结合实例说明这些结论的应用.关键词：奇偶函数积分对称性对称性是指某一事物对象的两个部分的对等性•特别地，对于一元两数y=f（xxeD（其小D为关于原点对称的数集，即当"D时，有-xeD当/（-兀）=-/（兀）时,称.f（x）为奇函数；当/（-兀）=/（X）时,称/（X）为偶函数•将上述定义进行推广:对于二元函数z=&,y）wD（其屮Q为关于原点对称的数集，即当（x,y）w
4、£>时，有（-x,-y）wD）,当/（-x-y）=-/（x,y）ItJ,称为奇函数；当f（-x-y）=f（x,y）n1-，称f（x,y）为偶函数•奇偶函数的对称性（即本文所应用的）是对称性中的特例•它在积分的计算中很常见.如果能利用对称性就可以化简很多复杂的积分计算问题，冇些题其至可以直接得出结果•因此掌握用对称性计算积分的方法是大有益处的•本文讨论了对称性在定积分、重积分、面积分及线积分计算中的应用.（以下都在积分存在的条件下予以讨论，有关函数均满足通常条件）1对称性在定积分中的应用1.1对称性在定积分应用中的重要结论在定积分的计算中经常用到如下的对
5、称性定理:引理设函数于（兀）在［a-b9a+b］上连续，则有(1)(2)(3)［：/(兀”1y『［/(a+x)+/(d-x)M证令兀=a+/,冇^f(x)dx=^bf(a+t)dt=^bf(a+tyit+^f(a+t)dt令t=-v,则^f(a+t)dt=-^f(a-v)clv=£/(tz-v)t/v将(3)式代入(2)式，并将积分变量统一成■则f(x)dx=^_f(a+x)+f(a-x)］dx特别地，令0=0,就得公式曲函数奇偶性的定义及上式，易得定理1设函数/（X）在卜⑦可连续，那么1）若/（兀）是偶函数，则£/（刃必=2打⑴必2）若/（x）是奇
6、函数，则£/（x）0,有（：/a）dx=2「7（x）dx2）若y=/（x）的图形关于点（a,0）对称,即/（a+x）=-/（d-x）,则对一切b>0,有ill:1）Ftl（1）式及已知条件/（Q+x）=.f（。一兀），有2)由(1)式及已知条件/(a+x)=-/(a-x)^有^f(x)dx=^Odx=O此结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大帮助.1.2对称性在定积分中的应用举
7、例fx6+x3-fF+1cosxdx+Fcosxdx=2fcosxdx=2例1vcfx6+2x3+1.*/=cosxdxhx2+l解6.3虽然被积函数非奇即偶，但可以把它分成两部分“3COS兀和COSXX+1前一部分是奇函数，后一部分是偶函数，可用定理1的结论简化其计算.而对于任意区间上的定积分问题，可以平移到对称区间［-a,d］上求解.这样的例了很多，应用定积分的性质进行拆项后，达到简化计算的目的.例2设P（x）为任意不超过三次的多项式，证明在区间［m,H］±P（x）的平均值G(-l)+4G(0)+G(l)=[G(-l)+G(l)]+4G(0)=2m
8、、+4加3+2加3P®)证(i)先证[m,71]=[1,-1]时的特殊情况,=+m}t2+m2
