数学分析实验-Mathematica 软件的应用

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1、数学分析实验－Mathematica软件的应用数学实验实例一1、调和数列自然数的倒数组成的数列称为调和数列。它的前n项和数列记作H(n)。调和数列研究2、提出问题：H(n)是否收敛？我们借助于数学软件Mathematica对H(n)的收敛性进行观察。Step1定义前n项和H(n)H[n_]:=Sum[1/k,{k,1,n}]Step2列出H(n)随n变化的数据表t=Table[{n,N[H[n],6]},{n,1,100}]nH[n]11.0000021.5000031.8333342.08333…………995.177381005.1873810007.48547100009

2、.78761100000014.39273Step3根据数据表画出H(n)的图形ph1=ListPlot[t]通过对所得图象的观察和分析，我们发现它很接近对数函数的图象。我们把它与对数函数y=lnx的图象一起比较一下。Step4与对数函数y=lnx作比较ph2=Plot[Log[x],{x,1,100}]Show[ph1,ph2]根据图象比较的结果可以看出，当n很大时，H(n)的图象与ln(n)的图象非常相似，但它们大致相差一个常数。这个常数约为C=H(100)-ln100≈0.5822.我们将lnx的图象向上平移C个单位后再进行观察。c1=H[100]-Log[100]ph

3、3=Plot[Log[x]+c1,{x,1,100}]Show[ph1,ph3]猜测1调和数列的前n项和H(n)是发散数列，它的数值与ln(n)+C很接近。猜测2数列H(n)-ln(n)可能是收敛的。可以得到如下的数据表：Step5用计算数据作印证对充分大的n，计算H(n)-ln(n)的值：t2=Table[N[{n,H[n],Log[n],H[n]-Log[n]},10],{n,1000,10000,1000}]nH(n)ln(n)H(n)-ln(n)10007.4854708616.9077552790.577715581620008.1783681047.6009024

4、5950.577465644130008.5837498908.0063675680.577382322340008.8713903008.29404964010.577340659750009.0945088538.5171931910.57731566160009.2768137448.6995147480.577298995970009.4309525208.8536654280.577287091880009.5644749848.98719682070.577278163690009.6822510769.1049798560.5772712194100009.78

5、76060369.2103403720.57726566413、研究数列H(n)-ln(n)的收敛性Step1令C(n)=H(n)-ln(n)，通过图象观察其特性：Cup[n_]:=H[n]-Log[n]tup=Table[{n,N[Cup[n],6]},{n,1,100}]ph4=ListPlot[tup,PlotStyle->RGBColor[0,0,1]]Step2令c(n)=H(n)-ln(n+1)，通过图象观察其特性：Clow[n_]:=H[n]-Log[n+1]tlow=Table[{n,N[Clow[n],6]},{n,1,100}]ph5=ListPlot[t

6、low,PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]Step3比较C(n)和c(n)，在同一坐标系中作出它们的图象。Show[ph4,ph5]通过观察可知如下事实：1、C(n)是单调递减数列；2、c(n)是单调递增数列；3、c(n)≤C(n)；4、c(n)，C(n)都是收敛数列，而且它们有相同的极限。4、结论与证明结论：极限存在。把这个极限值记为C，C≈0.5772，称为欧拉（Euler）常数。数学实验工具常见的数学工具软件：1、Mathematica；2、Matlab；3、Maple；4、MathCad.我们主要使用Mathematica这一数学工具软件。Math

7、ematica介绍Mathematica是一个功能强大的数学工具软件，具有数值计算、符号演算、图象制作、公式编辑和编程等各项功能。1、运行和退出Mathematica系统。2、界面介绍。3、输入和计算表达式。4、保存和打开文件。5、使用帮助系统。变量与函数一、Mathematica中的数据类型Mathematica系统中，数值分成四种类型：整数、有理数、实数和复数。整数型数据可以表示任意长度的精确整数，不受计算机字长的限制。如：264；最大素数21257787-1等。有理型数据可以精确表示任意的既约分数