流体流动的特性

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1、本章主要内容有：1.流体运动的研究方法、质点导数、流线、迹线的概念。2.流体运动学的物面条件、自由面条件。3.流体微团运动的分析、速度分解定理。4.有旋运动的运动学特征、流函数的性质。5.无旋运动的运动学特征、势函数的性质。理想流体运动速度场的基本解和定解条件。§1流体运动的研究方法、质点导数、流线、迹线1.Lagrange’sandEuler’smethod质点瞬时位置a,b,cL：其中：a,b,c称为L变数。E：2.DerivationofmasspointL：(a,b,c为常量)。E：故有：其中：——为质点导数算子。3.流线和迹线(1)迹线L：或：E：即：两种方法可互相转换，本质

2、相同。(2)流线L法无流线概念。E：§2边界条件——物面条件流体线：——由一群流体质点组成的曲线。流体线在运动过程中具有保持性。光滑流体面也具有保持性。1.物面方程例1：如图所示，试求物面方程。椭球x’(动标)V0y’z’yxz解：取固结与物面的动坐标有：因为：代入得：所以：2.物面条件由保持性——物面上的流体质点始终保持在物面上。t1t2t1理想流体粘性流体对于粘性流体：若物面静止，则有：对于理想流体：因为：所以：3.光滑流体面物面条件若物面方程为：则物面条件为：或：§3流体微团运动分析，速度分解定理流体微团的运动，其一般形式如下：即：如图所示，t瞬时，速度t+dt瞬时，速度oB即：

3、故有Helmholtz速度分解定理：或其中：其分量：——旋转角速度矢量。物理意义（如图所示）：其中：为线变形速率：单位时间内流体线的相对伸长。剪切角变形速率：单位时间内微元体角变形之半。考虑转动方向时，单位时间内微元体旋转角之和的一半。旋转角速度分量§4有旋运动的运动学特征1.基本概念1)涡量，都反映流体质点瞬时转动的转动方向。2)涡线、涡管（Vortexline,tube）涡线方程或：3)涡通量（Vortexflux）（涡管强度）：对于微小的涡管：4)速度环量如l为可缩曲线，则有：5)涡量的质点导数因为：因此可得：对加速度取旋度得：其中：因而有：最后有：2.涡管强度定理（Stokes

4、定理）证明：l1l2A1A2A3τ又：故有：或：从上式可以看出：上式称为汤姆逊(WilliamThomson)定理(LordKelvin)。其本质和Stokes定理相同。对于微元涡管，可近似写成：结论：1）同一个微元涡管A↓→↑。2）涡管截面不可能收缩为零。所以：涡管要么环形，要么始于边界，终于边界，要么伸展到无穷远。3.封闭流体线速度环量对时间的导数等于加速度环量即：证明：证毕。§5无旋流动的运动学特征无旋：1.特点1)只有理想流体才有无旋运动（粘性流体必有旋）。2)无旋则有势：3)不可压，φ满足Laplace方程：4)无旋则加速度有势。无旋：所以：——加速度势。2.Φ的性质1）2）

5、如l为任意可缩闭曲线，则有：推论：对于多连域：a)若l可缩，则：，φ为单值函数；b)若l不可缩，则：，φ为多值函数。此时计算要采用双回路方法。§6不可压无旋速度场的定解条件方程：定解条件：不需要初始条件，只需边界条件，如下表。有界单连无界单连有界双连无界双连①内、外边界给定φ内φ和总QΦ（给定Γ0）φ和总Q②内、外边界给定内和总Q+Γ0(或Qb)+Γ0③部分边界φ部分边界部分φ部分+Q（条件部分φ部分+Γ0部分φ+Q(或Γ)部分对单连域：若：流量：对于固定边界，实际应用最多的是第二类边界条件。xyox0U(t)例2：大球壳R=a2内，有小球r=a1，小球作直线运动，试建立定解条件。解：

6、理想、无旋、不可压有：（a）对于球为有界单连，若为平面，则为有界双连，此时求解需附加环量条件。边界条件：——为第二类边界条件。外球：物面方程：内球：边界：或：外球：即：(b)内球：即：（a）、（b）、（c）三式构成了上述问题的定解问题。（c）αxy例3：势流的外部绕流问题，如图所示。试建立定解条件。解：域的性质：空间为无界单连；平面为无界双连。现假设为平面问题：方程：边界条件：物面条件：（固定边界）无穷远：环量：进一步讨论：把解分成两部分：所以：无穷远：物面：环量：§7给定速度旋度和散度的运动学问题方程：现只考虑单连域的求解条件。边界条件：方程的求解处理：将分成三个部分，即：是有源无旋

7、的一个特解；是有旋无源的一个特解；是无旋无源的一个特解（势流解），即：故有：（a）（b）（c）例4：不可压流场，已知：物面：包括上、下壁和柱面，且满足：试给出定解条件。解：求解仍可分成三项：求特解：求通解：边界条件：柱面：上、下壁面：§8给定速度散度场的无旋流动1.点源、汇若q集中于一点：源或汇。且有：（体积流量）除原点外：可采用球坐标R,θ,ε进行求解.流场球对称，与θ,ε无关，此时有：积分得：由：Q为负——源；为正——汇。若当源不在原点，则