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《导函数性质及应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第二课时：导函数性质及应用备课教师：许新新教学目标：使学牛熟练掌握导数定义和性质；教学重点：用导数求函数极值，以及导数在直线方程中的应用；教学难点：求切线方程教学过程：一、知识导学1•瞬时变化率：设函数y=/（兀）在兀0附近有定义，当自变量在兀=兀（）附近改变量为心时，函数值相应地改变Ay=/（x0+Ar）-/（%）,如果当山趋近于0时，平均变化率0二/（兀。+心）一/（兀。）趋近于一个常数。（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝ArAv对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数/（兀）在点兀。的瞬时变化率。2
2、.导数：当心趋近于零吋，/（无）+心）_/（"）趋近于常数c。可用符号“T”记作：Ay当山to时，型+心）一-c或记作1込+心）一）之,符号Ax心t（）心读作“趋近于”。函数在x0的瞬时变化率，通常称作/（X）在x=%0处的导数,并记作广（X。）o3•导函数:如果芦（兀）在开区间（d“）内每一点兀都是可导的,则称/（兀）在区间S"）可导。这样，对开区间（a,b）内每个值兀，都对应一个确定的导数f（x）o于是，在区间（d,b）内，广（兀）构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y=/（x）的导函数。记为厂（x）或（或y；）。4.
3、导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设/（x）,g（x）是可导的，则（f（x）±g（x）Y=fXx）±SXx）即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。2）函数积的求导法则：设/（x）,g（x）是可导的，则[f（x）g（x）Y=fx）g（x）+f（x）g（x）即,两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘笫二个函数的导数。3）函数的商的求导法则：设/（x）,g（兀）是可导的，g（%）HO,则g(x)4.复合函数的导数:设函数u=i//（x）在点x处有导数况；
4、=f（兀），函数y=./*（«）在点兀的对应点"处有导数y；=fu）,则复合函数y=/［妙（兀）］在点兀处有导数，且5.儿种常见函数的导数:(1)C=0(C为常数)⑵(*')'=nxn~l(neQ)(5)(lnx)7=—(6)(logn)'二一log/⑺｛ex)f=ex二、疑难知识导析1•导数的实质是函数值相对于自变量的变化率2.运用复合函数的求导法则y；=元・山，应注意以下几点（1）利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成口变量的函数，层层求导.（2）要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后
5、，常出现如下错误，如（cos2xY=-sin2x实际上应是-2sin2x。（3）求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如y=——选成y=丄，w=v4,v=I-vv,vv=3xIT算起来就复杂了。（1-3x）u3.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。4-.厂（兀°）与•厂⑴的关系广（X。）表示/（兀）在x=x0处的导数，即广（X。）是函数在某一点的导数；/
6、©）表示函数/（兀）在某给定区间⑺"）内的导函数，此时厂（兀）是在⑺力）上x的函数，即/'（兀）是在（°,方）内任一点的导数。5.导数与连续的关系若函数y=/(%)在％处可导，则此函数在点兀处连续，但逆命题不成立，即函数y=f(x)在点％处连续，未必在兀°点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。5.可以利用导数求曲线的切线方程由于函数y=/(x)在兀=%处的导数，表示曲线在点P(X0,/(X0))处切线的斜率，因此，曲线y=.广(兀)在点P(X(),/(X()))处的切线方程可如下求得：(1)求出函
7、数)，=/(无)在点x=xQ处的导数，即曲线y=/(x)在点P(x0,/(x0))处切线的斜率。(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：丿=儿+/"(兀())(尤-兀())，如果曲线y=f(x)在点P(x0,/(x0))的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为x=x0・三、利用导数求极值1.可导函数的极值(1)极值的概念设函数/(兀)在点兀0附近有定义，且若对兀()附近的所有的点都有/(x)/(%)),则称/(“))为函数的一个极大(小)值,称兀0为极大(小)值点
8、.(2)求可导函数/(兀)极值的步骤：①求导数f(x)o求方程广(兀)=0的根.②求方程f'(x)=0的根.③检验厂(兀)在方程f(x)=0的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y=/(x)在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，
