（浙江专用）2020版高考数学复习第四章三角函数、解三角形第7讲正弦定理与余弦定理练习（含解析）

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1、第7讲正弦定理与余弦定理[基础达标]1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝ac，c＝2a，则cosC＝(　　)A．B．－C．D．－解析：选B.由题意得，b2＝ac＝2a2，b＝a，所以cosC＝＝＝－，故选B.2．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcosC＝c(1－3cosB)，则sinC∶sinA＝(　　)A．2∶3B．4∶3C．3∶1D．3∶2解析：选C.由正弦定理得3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB，3sin(B＋C)＝sinC，因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sinA

2、＝sinC，所以sinC∶sinA＝3∶1，选C.3．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为(　　)A．6B．3C．2D．2或3解析：选D.因为S△ABC＝2＝bcsinA，所以bc＝6，又因为sinA＝，所以cosA＝，又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.4．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinA－acosB＝0，且b2＝ac，则的值为(　　)A．B．C．2D．4解析：选C.在△AB

3、C中，由bsinA－acosB＝0，利用正弦定理得sinBsinA－sinAcosB＝0，所以tanB＝，故B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2－ac，即b2＝(a＋c)2－3ac，又b2＝ac，所以4b2＝(a＋c)2，求得＝2.5．(2019·杭州市高三期末检测)设点P在△ABC的BC边所在的直线上从左到右运动，设△ABP与△ACP的外接圆面积之比为λ，当点P不与B，C重合时(　　)A．λ先变小再变大B．当M为线段BC中点时，λ最大C．λ先变大再变小D．λ是一个定值解析：选D.设△ABP与△ACP的外接圆半径分别为r1

4、，r2，则2r1＝，2r2＝，因为∠APB＋∠APC＝180°，所以sin∠APB＝sin∠APC，所以＝，所以λ＝＝.故选D.6．在△ABC中，·＝

5、－

6、＝3，则△ABC面积的最大值为(　　)A．B．C．D．3解析：选B.设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为·＝

7、－

8、＝3，所以bccosA＝a＝3.又cosA＝≥1－＝1－，所以cosA≥，所以0

9、C＝4sinB，所以b2c＝4b，所以bc＝4，S△ABC＝bcsinA＝×4×＝2.答案：28．若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．解析：由面积公式，得S＝×AB×AC×sinA＝10，所以sinA＝＝.因为A∈(0，)，所以A＝.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cosA＝25＋64－2×5×8×cos＝49，所以BC＝7.答案：79．(2019·温州市高考模拟)在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，记S为△ABC的面积，若A＝60°，b＝1，S＝，则c＝_______

10、_，cosB＝________．解析：因为A＝60°，b＝1，S＝＝bcsinA＝×1×c×，所以解得c＝3.由余弦定理可得a＝＝＝，所以cosB＝＝＝.答案：3　10．(2019·金丽衢十二校联考模拟)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，acosB＝bcosA，4S＝2a2－c2，其中S是△ABC的面积，则C的大小为________．解析：△ABC中，acosB＝bcosA，所以sinAcosB＝sinBcosA，所以sinAcosB－cosAsinB＝sin(A－B)＝0，所以A＝B，所以a＝b；又△ABC的面积为S＝absin

11、C，且4S＝2a2－c2，所以2absinC＝2a2－c2＝a2＋b2－c2，所以sinC＝＝cosC，所以C＝.答案：11．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．解：(1)由题意知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－，A＝120°.(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.

12、又sinB＋sinC＝1，故sinB＝sinC＝.因为0°