计算机图形学chap3

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1、Chap3几何造型技术几何造型技术是一项研究计算机中如何表示物体模型形状的技术。在几何造型技术中，有三种描述物体的三维模型线框模型曲面模型实体模型。1.线框模型：是计算机图形学和CAD/CAM领域中最早用于表示物体的模型，计算机绘图是这种模型的一个重要应用。线框模型用顶点和棱边来表示物体，由于没有面的信息，它不能表示表面含有曲面的物体。不能明确的定义给定点与物体之间的关系（点在物体内部、外部、表面上），所以线框模型不能处理许多重要问题，如不能生成剖切图、消隐图、明暗色彩图，不能用于数控加工等，应用范围受到了很大的限制。2.曲面模型：在线框模型的基础上，增加了物体中面的信息，用面的

2、集合来表示物体，用环来定义面的边界。曲面模型扩大了线框模型的应用范围，能够满足面面求交、线面消隐、明暗色彩图和数控加工等需要。在这种模型中，只有一张张面的信息，物体究竟存在于表面的哪一侧，并没有给出明确的定义，无法计算和分析物体的整体性质，如物体的表面积、体积、重心等，也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其他物体相互关联的性质，如是否相交等。3.实体模型是最高级的模型，能完整的表示物体的所有形状信息，可以无歧义的确定一个点是在物体外部、内部或表面上。这种模型能够进一步满足物性计算、有限元分析等应用的要求。3.1参数曲线和曲面3.1曲线曲面的表示曲线和曲面的方式有参数表示和非参数

3、表示，非参数表示又分为显式表示和隐式表示。（1）非参数表示法（a）显示表示法y=f(x)，一个x值与一个y值对应缺点：不能表示封闭曲线或多值曲线。例如，不能显式表示圆或椭圆。（b)隐式表示法平面曲线方程写作：f(x，y)=0的形式给定x，无法准确的给出确切的y。能表示封闭曲线和多值曲线。优点：易于判断函数f(x，y)是否大于、小于、等于0，即易于判断点和曲线的相对位置关系。（画圆、画直线时都是这样）。非参数表示曲线存在的问题：1.无法表示斜率为无穷大的情况（垂直于x轴的直线）；2.与坐标轴有关；3.对于非平面曲线、曲面，难以用非参数化函数表示（2）参数表示法：曲线、曲面上任一点的

4、坐标，表示成参数的函数。假定用t表示参数，二维平面曲线上任一点P可表示为：P(t)=[x(t),y(t)]；空间曲线上任一三维点P可表示为：P(t)=[x(t),y(t),z(t)]；最简单的参数曲线是直线段，例如：端点为P1、P2的直线段参数方程可表示为：P(t)=P1+(P2-P1)tt∈[0,1];过点P1（2，3）、P2（6，8）的参数方程为：P(t)=P1+(P2-P1)t=[2,3]+[4,5]tt∈[0,1];圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示为（r=1）：其参数形式可表示为：参数表示法的优越性：1.可以满足几何不变性的要求。2

5、.有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为：只有四个系数控制曲线的形状。写成参数表示形式为（有8个系数可用来控制此曲线的形状）：（3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换；而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。（4）用切矢量代替了斜率，即：便于处理斜率为无穷大的情形。（5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。（6）规格化的参数变量t∈[0,1]，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。（

6、7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。3.1.2曲线的基本概念一条用参数表示的三维曲线是一个有界点集，可写成一个带参数的、连续的、单值的数学函数，其形式为：x=x（t）y=y（t）z=z（t）0≤t≤1x=x（t）y=y（t）z=z（t）0≤t≤1x=x（t）y=y（t）z=z（t）x=x（t）y=y（t）x=x（t）y=y（t）z=z（t）x=x（t）y=y（t）1.位置矢量曲线上任一点的位置矢量可表示为：P(t)=[x(t),y(t),z(t)]其一阶、二阶和k阶导数矢量（如果存在的话）可分别表示为2.切向量(切矢量)选择弧长s作为参数，则是单位切矢根据弧长微分公式有

7、：于是有即为单位矢量引入参数t后，有下式成立3.法矢量与平行的法矢称为曲线在该点的主法矢N矢量积是第三个单位矢量，它垂直于T和N。把平行于矢量B的法矢称为曲线的副法矢。表示一条参数曲线的切矢量4.曲率和挠率即称为曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率曲率k的倒数称为曲率半径。挠率的绝对值等于副法线方向(或密切平面)对于弧长的转动率。3.1.3插值、拟合、光顺一.插值、拟合、逼近给定一组有序的数据点Pi，i=0,1,…,n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进