高等代数教案 北大版 第二章

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1、授课内容第二章行列式第一讲引言、排列教学时数2授课类型讲授与互动教学目标使学生了解行列式的背景，要求学生熟练掌握二、三级行列式的对角线计算法则，掌握有关排列的基本概念、并能熟练掌握排列逆序数的计算与奇偶性的确定。教学重点二、三元线性方程组的计算公式，二、三级行列式的对角线计算法则，有关排列的基本概念、排列的奇偶性。教学难点二、三级行列式的对角线计算法则，排列逆序数的计算与奇偶性的确定教学方法与手段启发式讲练相结合教学过程解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组.一、对于二元线性方程组当时，此方

2、程组有唯一解，即我们称为二级行列式，用符号表示为.于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式时，该方程组有唯一解，即.二、对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组称代数式为三级行列式，用符号表示为：.当三级行列式时，上述三元线性方程组有唯一解，解为其中.三、元线性方程组是否也有类似的结论呢？为此，首先给出级行列式的定义并讨论它的性质，最后来解决这一问题，这是本章的主要内容.四、排列的定义定义1由组成的一个有序数组称为一个级排列.级排列的总数是.显然也是一个级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的；其它的排列或多或少地破坏自然顺序.定义2在一个排列中，如果一

3、对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.排列的逆序数记为例：排列53214的逆序数7定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。应该指出，我们同样可以考虑由任意个不同的自然数所组成的排列，一般也称为级排列。对这样一般的级排列，同样可以定义上面这些概念。五、排列的奇偶性把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这样一个变换称为一个对换。显然，如果连续施行再次相同的对换，那么排列就还原了。由此得知，一个对换把全部级排列两两配对，使每两个配成对的级排列在这个对换下

4、互变。定理1对换改变排列的奇偶性.这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列.推论在全部级排列排列中，奇、偶排列的个数相等，各有个.定理2任意一个级排列与排列都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.结论：任意两个排列都可以经过一系列对换互变.讨论、练习与作业课后反思授课内容第二讲n级行列式教学时数2授课类型讲授与互动教学目标使学生掌握行列式的定义，要求学生真正的理解行列式的定义以及行与列地位的对称教学重点一般行列式的定义、行与列的地位是对称的教学难点行列式的定义教学方法与手段讲授法启发式教学过程一、级行列式的概念在给出级行列式的定义之前，

5、先来看一下二级和三级行列式的定义。我们有(1)(2)从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成(3)其中是1，2，3的一个排列.可以看出，当是偶排列时.对应的项在(2)中带有正号，当是奇排列时带有负号.定义4级行列式(4)等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积(5)的代数和，这里是的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符号；当是偶排列时，(5)带有正

6、号，当是奇排列时，(5)带有负号.这一定义可写成(6)这里表示对所有级排列求和.定义表明，为了计算级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号.由定义看出，级行列式是由项组成的.例1计算行列式.例2计算上三角形行列式.(7).(8)这个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积.特别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积.容易看出，当行列式的元素全是数域中的数，它的值也是数域中的一个数.二、行列式的性质在行列式

7、的定义中，为了决定每一项的正负号，把元素按行指标排起来.事实上，数的乘法是交换的，因而这些元素的次序是可以任意写的，一般地，级行列式中的项可以写成,（11）其中是两个级排列.利用排列的性质，不难证明，(11)的符号等于(12)按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义又可以写成.(15)由此即得行列式的下列性质：性质1行列互换，行列式不变.即.(16)性质