点线面之间的位置关系

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时间:2019-10-15

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1、点、线、面之间的位置关系【基础回顾】一、三个公理和三条推论公理1:一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平面内的常用方法。公理2、如果两个平面有两个公共点,它们有无数个公共点,而且这无数个公共点都在同一条直线上。这是判断几点共线(证这几点是两个平面的公共点)和三条直线共点(证其中两条直线的交点在第三条直线上)的方法之一。公理3:经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论1:经过直线和直线外一点有且只有一个平面。推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3:经过两条平

2、行直线有且只有一个平面。二、平行和垂直位置关系的判断方法1、两直线平行的判定:(1)公理4:平行于同一直线的两直线互相平行;(2)线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行;(3)面面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行;(4)线面垂直的性质:如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。2、两直线垂直的判定:(1)勾股定理(2)如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说两条直线互相垂直;(3)如果一条直线垂直于一个平面

3、,那么这条直线垂直于这个平面上所有的直线;(4)如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么它也垂直于另一条(5)三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。(6)三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。3、直线与平面平行的判定和性质:(1)判定定理:如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行;(2)面面平行的性质:若两个平面平行,则其中一个平面内的任何直线与另一个平面

4、平行。4、直线和平面垂直的判定和性质:(1)判定:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直。(2)性质:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。5、两个平面垂直的判定和性质:(1)判定:判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。(2)定义法:即证两个相交平面的二面角为直角;6、两个平面平行的判定和性质:(1)判定:如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行,则这两个平面平行。三、异面直线所成角(1)范围:;(2)求法:计算

5、异面直线所成角的关键是平移(中点平移,顶点平移以及补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,以便易于发现两条异面直线间的关系)转化为相交两直线的夹角。四、直线和平面所成角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫这条直线和这个平面所成的角。(2)范围:;(3)求法:作出直线在平面上的射影,将直线与平面的夹角转化为平面角来求;(4)特征:斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。六、二面角:(1)平面角的三要素:①顶点在棱上;②角的两边分别在两个半平面内;③角的两边与棱都垂

6、直。(2)作平面角的主要方法:①定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性;②三垂线法:过其中一个面内一点作另一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角;③垂面法:过一点作棱的垂面,则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角;(3)二面角的范围:;(4)二面角的求法:①转化为求平面角;②面积射影法:利用面积射影公式,其中为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再选用上述方法(尤其可考虑面积

7、射影法)。七、空间距离的求法(立体几何中角和距离的计算,要遵循“一作,二证,三计算”的原则)(1)异面直线的距离:①直接找公垂线段而求之;②转化为求直线到平面的距离,即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。③转化为求平面到平面的距离,即过两直线分别作相互平行的两个平面。(2)点到直线的距离:一般用三垂线定理作出垂线再求解。(3)点到平面的距离:①垂面法:借助于面面垂直的性质来作垂线,其中过已知点确定已知面的垂面是关键;②体积法:转化为求三棱锥的高;③等价转移法。(4)直线与平面的距离:前提是直线与平面平行,利用直线上

8、任意一点到平面的距离都相等,转化为求点到平面的距离。(5)两平行平面之间的距离:转化为求点到平面的距离。(6)球面距离(球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度):求球面上两点A、B间的距离的步骤:①计算线段AB的长;②计算球心角∠AOB的弧度数;③用弧长公式计算劣弧AB的长。【常见题型】题型一:点共线和共面问题【例1】如图正方体中,E、

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