高斯坐标正反算

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1、正形投影的一般条件基本出发点：在正形投彫中，长度比与方向无关。1、长度比的通用公式如图4・42,在微分直角三角形P1P2P3及Pl'P2'P3'中有：其中/=L-LO,L0通常是中央子午线的经度，L是P点的经度令:dS2=(M6B]dy2=dx2+dj2(1)m平方可为：irr'ds_dx2+dy2dx2+dy2的町+(NcosB町(NcosB)2COSMdBNcosB/、2+d/2斗八宀人jMdBr«MdB为间化公式，令：dq=q=NcosBJ。NcosBq称为等量纬度，因为它只与纬度B有关。这样，式(2)可表示为:adx

2、2+dy2nr=―F:一:k(3)『(dg)2+(d/『(4)我们投影的日的是：建立平血坐标xy和大地坐标BL之间的函数关系，由式(3)可知,(5)即建立xy和bl的函数关系。令x=x(/,(y)y=y(Aq)对上式进行全微分可得:、dx}dr=—dt/+创dy=—dq+aqdzava/dz9)亠a/将上式代入式(1)中第二项，并令:可得;d?=E(g)2+2F(dg)(d/)+G(d/)2则式⑷可写为:.+2F(dq)(d/)+G(d/『nv；=-=；r2[(d^)+(dZ)_2柯西•黎曼条件在上式引入方向，如图4・42所示

3、：肚rd/d/即：d/=tanAdq将式(11)代入式⑼可得：注意secA=1/cosA(10)(11)2£(d<7)~+2FtanA(d^)2+Gtan2A(d(/)2m=F；<=ir(dg)~+tan2A(dg)__E+2FtanA+Gtan2Ar2sec2AEcos2A+2FsinAcosA+Gsin2A(12)要想让m和A无关，必须使F=0,E二G,即(13)hl上式第一式可得:ox_dqoldldxdq代入第二式可得:、2l勿丿&丿消去公共项可得：开方并代入式(13)的第一项:l勿丿(14)(15)(16)dxdyd

4、qdldx_dya7=~a^高斯投影坐标正算高斯投影三条件：L0为直线；L0长度不变；正形投影1、幕级数展开公式(x偶y奇)//“微小量(/<=206265),可进行级数展开，可得：x=rn()+m2l2+mf+•…[y=m}l+叫卩+mj+•…式中mi为待定系数，是q、B的函数。由第3个条件，分别对上式求偏导，可得:dx_dydqdldx_dydldq(19)耳+3吨2+5诃+…=蝕+也釘2+包*+...dqdqdq宀，4八d",dm.,32mJ+4mf+・・・=//-dqdq(20)为使上式两边相等，必有1的同次幕的系数

5、相等，即:mx=——-1dm}"=L<2dq1dm,zw3=t—(21)3dq由高斯投影的第二个条件可知，位于L0上的点投影后的纵轴坐标应该等于投影前从赤道至改点的子午线弧长，即在式(18)中，当/=0吋，有：(22)(23)(24)顾及子午线弧长微分公式M=—(Pl084-53)及式dq=上竺,可得:dBNcosBdm0d叫dBdXNcosBxrdqdBdqdBM于是有：777,=NcosB=—cosB1V其次求色生，类似的有：dq、CcosB7ddw,_dm}dB_Vdg(IBdqdBd

6、—cosBdBdBdq2cosB

7、—-sinB-V2dBV(25)许d[4-¥e2cos2BdBdB12^cosB(-sinB)=_丄护财BtanB=-丄处1Vl+/2cos2BVV于是有:dmt矿、—cosBy丿dB■ccosBV2「丿Fn畤(C-cosBVcIV3)-dqC9C?=—77ZcosBsinBVcosBV3V(26)于是:—sin^(-1)V2cosB=C—sinBcosBVc、—sinBcosBV)1d〃片2~d7—sinBcosB2类似可求蚀、关键是求X(P1154-101)Pill高斯投影坐标反算高斯投影三条件：X投影为中央子午线；X

8、轴上投影长度不变；正形投影1.幕级数展开公式(x偶y奇)微小量，可进行级数展开，可得:式中％为待定系数，是纵坐标x的函数。反算必满足柯西-黎曼条件:dq_dldxdydl_dqdy(29)dx注意臥峡腭’故上式可改写为:dBNcosBdldxMdydBNcosBdl(30)dyMdx分别对式(28)求偏导，可得：阪+^1讨+叫护+...=dxd^:dxM

9、sBdr(32)_NcosBdn}22MdxMd®13/VcosBdx此时确定上式各系数，关键是确定nO。由高斯投影的第二个条件可知，当y=0,x=X,对应的F点成为底点，对应的纬度称为底点纬度。用坊表示。且有:(33)式(32)中所有系数可以看成是底点纬度切的函数。因此，