数值分析考试课目汇编

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1、Chi、引论§1、数值分析及其特点1、数值分析及其主要内容数值分析也称计算方法，主要研究用计算机求解数学问题的数值方法及理论，内容主要包括：(1)数值逼近一插值与拟合、多项式逼近、有理逼近等(Ch2~Ch3)；(2)数值积分与微分(Ch4)；(3)数值代数一求解方程(组)以及特征问题的数值方法(Ch6〜Ch9)；(4)常微分方程的数值解法(Ch5)o2、数值分析的特点(1)首先要有可靠的理论分析，以确保算法在理论上的收敛性和数值稳定性；(2)其次要对■计算结呆进行误差估计，以确定其是否满足梢度；(见例3)(3)还要考虑算法的运行效率，即算

2、法的计算量与存储量。例如Cooley和Tukeyl965年提出FFT,N?/2Nlog；,N=32K,100()倍。例1、分析用Cramer法则解一个斤阶线性方程组的讣算量。解：计算机的计算量主耍取决于乘除法的次数。用Cramer法则解一个阶线性方程纟fl需计算刃+1个〃阶行列式，而用定义计算阶行列式需n!(n-l)次乘法,故总计共需(川+1)斤!(斤一1)=(”+1)!(〃一1)。此外，述需72次除法。当n=20时，计算量约为(h+1)!(h-1)=9.7x1O20次乘法。即使用每秒百亿次乘法的计算机，也需计算3000多年才能完成。可见

3、，Cramer法则仅仅是理论上的，不是面向计算机的。§2、数值分析中的误差1、误差的类型与来源⑴模型误差;(2)观测误差;(3)截断谋差(方法谋差)一模型的准确解与数值方法准确解之间的课差；(4)舍入误差—实数形式的原始数据与冇限字长的计算机数据Z间的误差。数值分析主要研究截断误差与舍入误差。X2xn例2.根据Taylor展式肘=1+兀+—+•••+二+R”(兀)计算(课差小于0.01)。2!n…*)耳+—匚+丄+亠+“)3!4!5!-——-（截断误差）-0.3667（舍入误差）。26241202、误差的基本概念（1）误差与误差限设兀为

4、某量的精确值，F为兀的一个近似值，则称e*=

5、x-x*

6、为/的（绝对）谋差,e*=x-x*/

7、x

8、为x的相对误差。用某种方法确定的误差的某个上界，称为/的误差限，显然

9、x-x*

10、<£*,即X*-£

11、。k=§3、算法的数值稳定性与病态问题1、算法的数值稳定性例3、计算人=t—dx5=0,1,2…,6）,并做误差分析。」）兀+5必畤0」823%）兀+5徽"广必“5匚+丄,/()4,y4-SYI算法1：I；=0.1823**1,结果见下表。<=-5C+-nXnV兀"—-y2(6x75x7)0.02619=/6oZ*=0.02619算法2：「厂，结果见下表。Z*一"-人1n-~匕n算法1算法2准确值00」8230.18230.182310.08850.08840.088420.05750.05800.058030.04580.04310

12、.043140.02080.03440.034350.09580.02810.02856-0.31250.02620.0243误差分析:(1、(、1算法1：En=人-1：5/—Ll——5C=5=•••=5"15>)=5”£0,即在计算过程屮谋差放人了5〃倍。算法2：即谋差缩小了5〃倍。定义1：若某算法受初始误差或计算过程川产生的舍入谋差的影响较小，则称Z是数值稳定的，反之称为不稳定算法。2、病态问题例4、将方程p(x)=(x_l)(jc_2)・・・(x_20)=0,即兀20一210尹+・..+20!=0改为摄动方程兀2°_(210+£

13、)f9+...+20!=0,U

14、Jp(x)-£t19=0,其中£二2一23=10一7。Wilkinson用精密方法计算出其根为:1.0000,…,6.0000,6.9997,8.0073,8.9173,10.0953±0.64357,•••,19.5024±1.9403/,20.8469。/7y(时，兀(刃Ti。显然」d£令/?(兀,£)=兀加一(210+£)兀旧+•—20!,其根为兀：(£),i=1,2,・•・20,则当£_0反映了初始数据的微小摄动对兀@)的影响程度即问题的£=0条件数。因〃("(£),£)三0,故九U)(1£e=0九

15、(£)de/?=()6810〜192010~,810-3101104106~109107（坏条件问题）定义2：若初始数据的微小i吴差都会对最终的计算结果产定极大的影响，则称这种问题为病态问题（