第2节 微积分基本公式

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1、第二节微积分基本公式一、原函数存在定理二、微积分基本公式第二节微积分基本公式一、原函数存在定理设函数f(x)在区间[a,b]上连续,x[a,b],xx考察定积分af(x)dxaf(t)dt.如果上限x在区间[a,b]上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分有一个对应值,所以它在[a,b]上定义了一个函数.记为x(x)f(t)dt,a称为变上限的积分.定理（微积分基本定理）若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则变上限函数xΦ(x)f(t)dt(axb)在[a,b]上具有导数，且adxΦ'(x)f(t)dtf(x)(axb).dxa即上限函数Φ(x

2、)是f(x)在[a,b]上的一个原函数.证明考虑函数改变量xxxΦΦ(xx)Φ(x)=f(t)dtf(t)dtaaxxxxxxaf(t)dtxf(t)dtaf(t)dtxf(t)dt由积分中值定理有xxf(t)dtf()x（介于x,xx间）x当x0时，有xxx，从而x，根据导数的定义及函数的连续性，有Φf()xΦ'(x)limlimlimf()f(x)x0xx0xxdx即Φ'(x)f(t)dtf(x).adxx结论：变上限函数f(t)dt对积分上限x的导数等于a被积

3、函数f(t)在积分上限x处的值f(x).对应变上限积分函数还有变下限积分函数b(x)xf(t)dt对于变上（下）限积分函数也可以进行函数的复合，由变上限积分函数导数与复合函数求导法则有结论：若函数(x),(x)可微，函数f(x)连续，则dadx(1)f(t)dtf(t)dtf(x)xadxdxd(x)(2)f(t)dtf[(x)](x)adxd(x)(3)f(t)dtf((x))(x)f((x))(x)(x)dx例求下列函数的导数x2exlnt(1)(x)0sintdt(2)(x)adt(a0)

4、t解由变上限积分知dx22(1)(x)sintdtsinx0dxxdexlntlnex(2)(x)dt(e)xaxdxte例求下列极限x22x0costdt(2)lim0arctantdt.(1)limx0xsinxx0x2解由洛必达法则，得22x2x240costdt0costdt2xcosx4limlimlimlimcosx12x0xsinxx0xx02xx01xarctantdtarctanx1121lim0.x2limlim.x0xx02x2x012二、微积分基本公式变速直线运动的路程问题设物体作变速直线

5、运动其路程函数为s=s(t),速度函数为v=v(t).则在时间间隔[T,T]内有12s(t)v(t)T2v(t)dts(T)s(T)T211上述等式对一般函数是否成立？即推测下述结论.结论：若函数f(x)在[a,b]上连续,且F(x)f(x),则bf(x)dxF(b)F(a)，a定理(微积分基本公式)设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且F(x)是f(x)在b[a,b]上的任一个原函数，则f(x)dxF(b)F(a)，ax证明由F(x)与Φ(x)f(t)dt是f(x)的原函数,知axΦ(x)F(x)C.即f(t)dtF(x)C.a令xa得

6、CF(a)；b令xb得af(t)dtF(b)F(a)，b即f(x)dxF(b)F(a)(牛顿-莱布尼茨公式)a牛顿—莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法.即若求定积分的值,只要求出被积函数f(x)的一个原函数F(x),然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，揭示了定积分与原函数之间的内在联系.在理论上把微分学与积分学沟通了起来.所以微积分基本公式是整个微积分中最重要的公式.基本公式应用形式bbf(x)dxF(x)F(b)F(a)aa例求下列定积分1211(1)13xdx(2)0

7、cosxdx(3)02dx1x解由微积分基本公式123133(1)3xdxx1(1)211(2)cosxdxsinxsinsin000000111(3)dxarctanx0201x4在利用微积分基本公式求积分时，经常要对被积函数进行恒等变形，然后利用定积分性质计算积分.21xx例求下列定积分2(1)dx(2)2sindx0201x2解将被积函数变形，再由微积分基本公式得221x1x1111(1)02dx02d