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1、传热学第4章热传导问题的数值解法数值解法：有限差分法，有限元法及边界元法。分析解法：（1）对导热微分方程式在规定的边界条件和初始条件下积分求解。（2）求解结果能清楚显示各种因素对温度分布的影响，但仅适用于简单的导热问题，同时解的形式复杂。导热问题的求解方法：实验方法：相似原理指导下的实验方法。4.1导热问题数值求解的基本思想理论基础：离散数学。基本思想：把原来在时间，空间坐标系中连续的物理量的场（如导热物体的温度场）用有限个离散点上的数值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获
2、得离散点上被求物理量的值，这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。基本方法：有限差分法(finite-difference)有限元法(finite-element)边界元法(boundary-element)4.1.2导热问题数值求解基本思路分析；二维矩形区域内的稳态，无内热源，常物性的导热问题。数值求解的步骤；1.建立控制方程及定解条件控制方程：描述该导热问题的导热微分方程。定解条件：边界条件。二维，稳态，无内热源，常物性的导热：举例导热微分方程：t0WHh1tfh2tfh3tfxy2.区域
3、离散化(discretization)沿x方向和y方向分别以Δx，Δy为间隔把求解区域划分成很多个小的子区域。步长：相邻两节点间的距离Δx,Δy。节点：网格线(边界线)的交点。节点表示：nNMΔxh3tfmΔym,nm+1,nm-1,nm,n+1m,n-1控制容积(controlvolum)：以节点为中心,边长等于Δx,Δy的小区域。节点温度代表以它为中心的控制容积的平均温度。3.建立节点物理量的代数方程离散方程：节点上物理量的代数方程。二维稳态导热均匀步长时内部节点温度的代数方程：举例4.设立迭代初场迭
4、代初场：采用迭代法求解时，需要对被求解的温度场预先假定一个解，称为初场。5.求解代数方程组6.解的分析可进一步计算热流量，热应力及热变形等。4.2内节点离散方程的建立方法数值计算过程的核心内容.两种方法:泰勒级数展开法;控制容积热平衡法.4.2.1泰勒级数展开法根据泰勒级数，导出节点（m,n）处二阶偏导数的差分表达式：上两式相加得：整理得：其中称为截断误差。整理成二阶导数的近似代数关系式：——二阶导数的中心差分表达式(a)同理可得：(b)将(a),(b)代入导热微分方程式中得离散方程：设步长Δx=Δy，有
5、：——二维稳态导热均匀步长时内部节点温度差分方程说明物体内每一个节点的温度都等于它周围相邻4个节点温度的算术平均值。4.2.2热平衡法对控制容积写出能量守恒的表达式：nΔxwΔym,nm+1,nm-1,nm,n+1m,n-1seΦwΦeΦnΦs根据傅立叶定律:设步长Δx=Δy，有：垂直纸面单位宽度说明稳态时流向任何节点的热量总和必等于零。4.3边界节点离散方程的建立及代数方程的求解4.3.1边界节点离散方程的建立第一类边界条件—边界温度已知第二类边界条件第三类边界条件需建立边界节点温度的差分方程1.位于平
6、直边界上的节点若步长Δx=Δy，有：nΔxm,nmm,n+1m,n-1qwΔym-1,n2.外部角点控制容积的热平衡为：若步长Δx=Δy，有：ΔxΔym+1,nm-1,nm,n+1m,n-1ACBEDFm,nm,n-1qwm-1,nqw3.内部角点控制容积的热平衡为：若步长Δx=Δy，有：ΔxΔym+1,nm-1,nm,n+1m,n-1ACBEDFm,nm,n-1qwm-1,nqw4.边界热流密度的三种情况（1）绝热边界：（2）值不为零：代入给定的值。（3）对流边界：平直边界节点：外部角点内部角点式中：网
7、格毕渥数。4.3.3求解代数方程的迭代法常用方法：消元法矩阵求逆法迭代法简单迭代法高斯-赛得尔迭代法......其中：均为常数，且。1.高斯-赛德尔迭代法设节点温度差分方程的形式为：（1）将该方程组改为t1，t2，…tn显函数形式......（2）求解原则：首先假设一组变量初始值，在依次求解上述方程组时不断采用最新的当前值更新变量的估计值。假设初始值：......（3）节点温度的k次近似值：确定：2.迭代过程是否已经收敛的判据：连续两次迭代得出温度ti的最大差值：或：迭代运算收敛。3.传导的热流量：
