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1、剖析函数极值的概念在学习导函数极值的概念时，应注意以下几点：（1）函数的/（兀）在心及附近有定义，是指在点兀0及其左右邻域都有意义；（2）极值是一个局部概念，是就函数在某一点附近的小区间而言的；（3）极值总是函数于（工）定义域小的内点，因而端点绝不是两数的极值点；（4）在函数的報个区间内可能有多个极人值或极小值，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没冇必然的大小联系，且极大值不一定比极小值大。（5）可导函数的极值点一定是它导数为零的点，反Z函数的导数为零点，不一定是该函数的极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充分条件是这点两例的导数异号.（6）不可导函数
2、也可能有极值点（例如函数y=忖，它在点x=0处不町导，但兀=0是函数的极俏点），即函数于（兀）在极值点处不一定存在导数在两数极值与导数的学习屮，常见以卜儿种类型：一、求函数的极值求函数极值是故常见的题型，解题时要注意求函数极值的某本步骤，此外还应注意“点是极值点”的充分条件及必要条件。例1：（1）求函数/（x）=3x-x3的极值.（2）求函数/（x）=4x3-6x2+3x+2的极值.解：（1）函数/（兀）的定义域为R./'（%）=3-3%2=3（1-x）（l+x）令/'（%）=0,得兀二］或兀=_1当x变化时，f（兀）和/（兀）变化状态如下表:XY,-1)-1(-1,1)2
3、(2,+oo)f'M——0+0——X极小值极大值因此,当x=-l时,y（兀）有极小值,且/（-I）=-2；当x=l时，/（兀）有极大值，且/（—1）=2评注：求函数>，=/&)极值的一般步骤是：笫一步：确定函数的定义域；第二步:求导数f(Q；第三步：求方程f(兀)=0的所有实数根；笫四步:考察在毎个根兀o附近，从左到右,导函数f(兀)的符号如何变化。如果f(朗的符号由正变负，则/(心)是极大值；如果由负变正，则/(心)是极小值。(2)函数于(兀)的定义域为R.f(Q=]2兀2_]2兀+3=3(2兀_1)2令/(x)=0,得x=
4、2当x〉一时,f(x)>0；当x<—Bt,f(
5、x)>0.所以此函数无极值。评注：f'(x())=O是函数/(x)在观处有极值的必要条件。要加上在心附近导数的符号相反，才能断定函数在兀°处取得极值。反映在解题上，错谋判断极值或漏掉极值点是学生经常出现的失误。二、根据函数的极值确定参数的值此类题型为给出函数/(力是在定义域内的极值点，故可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为广(X)=0的根建立起由极值点所确定的相关等式,运用待定系数法求出参数的值.例2.设甫数f(x)=ax3+bx2+ex,在x=-2,x=1处取得极值，且/(-I)=-13,求函数.f(x)的解析式。解：f(x)=3ax2+2hx
6、+c•・•f(x)在x=-2,x=l处取得极值，:.f(-2)=0,/(1)=0(12d-4Z?+c=0即彳3d+2b+c=0乂f(一1)=一13,二_a+b_c=_13,解得a=一2,b=-3,c=12.・.函数的解析式为:/(x)=-2x3-3x2+12评注：本题可从逆向思维的角度，利川极值点与导数之间的关系：极值点是/'（x0）=0的根，利用这一关系，合理地实现了问题的转化，使抽象问题具体化，从而得解。三、函数极值的综合题：函数的极值是近年高考的热点，常与函数的单调性、含参数的讨论等知识联系在一起,综合性较强，一般以解答题形式出现。当题冃涉及的知识点较多时，应注意分析
7、各知识点的性质及特点，找出它们之间的联系，运用类比、化归等的数学方法，采用数形结合，将待解问题化整为零、化繁为间，进而使之得以解决。例3：设函数/（x）=x3-6x+5,xgR（1）求函数/（X）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程/（x）=a有三个不同实根，求实数a的取值范围。解：（1）/（x）=3x2-6,令/（xo）=O,解得x=_迈，或xW•.*当兀>"或x<一血时，/（兀）>0；当一"v无v血时，f（x）<0f（X）的单调区间为（-CO,-J刃和（j^,+co）；单调减区间为（-当x=_近时，/（兀）有极大值5+4近;当X=42时，/（X）有极小值5-4^2（3
8、）由（1）的分析知y=门兀）的大致走向如图所示，当5-4a/2
