向量的概念(1)

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1、一、向量的概念二、向量的坐标表示法第二节向量及其坐标表示法第八章向量代数空间解析几何记为0，其方向不定.如果方向相同、模相等，模等于1的向量称为单位向量.即经平行移动后，两向量完全重合.既有大小又有方向的量，如力、位移、速度、加速度等.这类量称为向量，或称为矢量.向量a的大小称为该向量的模，记作

2、a

3、;与a同向的单位向量记为a，模等于0的向量称为零向量，两个向量a与b不论起点是否一致，则它们是相等的，记为a=b.允许自由移动的向量称为自由向量.一、向量的概念这就是向量加法的平行四边形法则.这个法则

4、可以推广到任意有限个向量相加的情形.以a、b为边的平行四边形的对角线所表示的向量如左图，则由a的起点到b的终点的向量.设有两个非零向量a、b，称为两向量a与b的和向量，记为a+b，若以向量a的终点作为向量b的起点，也是a与b的和向量.这是向量加法的三角形法则.定义1baababca+bb+c(a+b)+c=a+(b+c)a+b若向量b加向量c等于向量a，从图中可以看出:向量的加法满足交换律和结合律.即a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c).根据向量加法的三角形法则，则称向量c为a与b之差，记为

5、c=a-b.c=abab是一个非零实数，定义2设a是一个非零向量，则a与的乘积仍是一个向量，记作a，且(1)

6、a

7、=

8、

9、

10、a

11、;(2)a的方向与a同向，当>0，与a反向，当<0，如果=0或a=0，规定a=0.数乘向量满足结合律与分配律，即(a)=()a，(a+b)=a+b，(+)a=a+b，其中，是数量.设a是非零向量，由数乘向量的定义可知，且与a同方向，所以有向量的模等于1，因此任一非零向量a都可以表示为终点为P(x,y,z).过a的终点P(x,y,

12、z)作三个平面分别垂直于三条坐标轴，则点A在x轴上的坐标为x，在空间直角坐标系中，与x轴、y轴、z轴的正向同向的单位向量分别记为i、j、k，称为基本单位向量.设向量a的起点在坐标原点O，设垂足依次为A，B，C，根据向量与数的乘法运算得向量二、向量的坐标表示法,ixOA=于是，由向量的三角形法则，有称a=xi+yj+zk为向量a的坐标表达式，记作其中x，y，z称为向量a的坐标.xzABCQaijPOyk向量的坐标表示法求向量a的坐标表达式.例1已知是以A(x1,y1,z1)为起点，B(x2,y2,z2

13、)为终点的向量，解AzyxOBa设则(为数量).或例2已知a={2,-1,-3}，b={2,1,-4}，求a+b,a-b,3a-2b.解a+ba-b3a-2b那么它的终点坐标A的坐标就是(ax,ay,az).a的起点放在坐标原点，由两点间距离公式可知xPQyRzAOab非零向量a与三坐标轴正向的夹角、、(其中0≤≤,0≤≤,0≤≤)，称为向量的方向角;这三个角的余弦cos、cos、cos称为向量a的方向余弦.因为△OPA、△ORA都是直角三角形，所以例3已知M1(1,-

14、2,3)、M2(4,2,-1)，求的模及方向余弦.解由条件可得设向量a的两个方向余弦为求向量a的坐标.可知例4解因为所以=2,4,4或=2,4,－4.因此求其合力F的大小及方向角.例5已知作用于一质点的三个力为F1=i－2k，F2=2i－3j+4k，F3=j+k，解因为F=F1+F2+F3所以，可得合力的三个方向角为查表可得因此，合力大小的近似值为4.7个单位，