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1、对一道经典几何题的深度剖析张素勤题：（山东省中考题）已知正方形ABCD中，E为对角线上一点，过E点作EF丄交BC于F,连接DF,G为DF中点，连接EG,CG.图②3图③Q（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△3EF绕3点逆时针旋转45。，如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（3）将图①中绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）分析题设条件有中点，
2、有等腰直角三角形，利用中点构造直角三角形斜边上的中线、三角形的中位线、梯形的中位线、中心对称三角形等.解析：（1）证明:在RtAFCD中,TG为DF的中点，ACG=-DF.同理，EG=-DF.:.CG=EG.22(2)(1)中结论仍然成立，即EG=CG.证法一：如图4连接AG,过G点作MN丄4D于M,与EF的延长线交于N点.TAD=CD,ZADG=ZCDG,DG=DG,.IMAGm/XDCG.:.AG=CG.・.・ZDGM=/FGN,FG=DG,ZMDG=/NFG,:.DMG空、FNG.:.MG=NG在矩
3、形AENM中，AM=EN.TAM=EN,MG=NG,.I/AMG^/^ENG..IAG=EG..IEG=CG.证法二：如图5,延长CG至M，使MG=CG,连接MF,ME,EC.•・・FG=DG,上MGF=ZCGD,MG=CG,:./XDCG^AFMG.:.MF=CD,ZFMG=ZDCG・:.MF//CD//AB.:.ZMFE=ZCBE=90°.•••AMEC为等腰肓也三介•:MF=CB，EF=BE,:仏MFE竺HCBE.:.ZMEF=ZCEB,EM=EC:.ZMEC=ZMEF+ZFEC=ZCEB+ZCEF
4、=90°.形.・・・MG=CG,,,,,,•IEG=-CM=CG•2证法三：如图6,取4E的屮点H,连接AG.GH则GH是梯形AEFD的屮位线，:・GH〃AD；GH丄AE.IGE二G4二GC证法四：如图7,延长EF交CD于点H,连接GF,ZDFH=45。=ZFDHf：.HF二HD,・.・GF=GD、:.GH=、DF=DG,/EHG=ZCDG.AGEH^AGCD.2:.GE=GC证法五：如图8延长EG与AD的延长线交于点H,连接CE、CH.可证△EFG◎厶HDG,(2)(1)中的结论仍然成立，即EG=CG.其
5、他的结论还有:EG丄CG.证法一：如图9,延氏EG到使GM二GE,连接DM涎氏EF交CD于点P,连接CM,CE.由AEFG^AMDG得DM=EF,DM//EF,：・ZMDC=NEPD,TZBEF+NBCP=80°,：.ZEBC=ZEPD=ZMDC,而BC=CD,：・△BCE^ADCM,ZBCE=/DCM,・・・/BCD=90°,AZECM=90°,乂CE=CM,且GE=GM,：.EG=CG,EG丄CG..证法二如图10,连接CE,将ABCE绕点E顺时针旋转90°到AFEH,则FH//CD,FH=CD,:.
6、DF的中点也一定是CH的中点，•:CE=HE,CE丄HE,：・EG=CG,EGLCG..证法三：如图11,连接BD,分别収BF、BD的中点M、N,连接EM,CN,MG,,M,则MG=、BF=NG,MG=、BD=CN,乙FMG=ZFBD=乙GND,Z£MF=90°=ZCND,:.△22GEM竺/CGN,:.EG=CG,EG丄CG..木题的解决有不同的方法，而几何变换是统领这些方法的灵魂，图4,图6运用的是对称变换，图5,图7至图10运用的是旋转变换•图11把岂角三角形斜边上的中线、三角形的中位线结合起来，其
7、中笫(3)问可以用一个基本的模型来解决.如图12,分别以A3、AC为斜边作等腰在角三角形和ACF,取BC的中点D,连接DE、£>£求证：DE=DF,DE丄DF.证法有三种：方法一，如图12,分别取A3、AC的中点，证明△DEG竺HFDH.构造全等三角形解题.方法二，如图13,延氏ED到G,使DG=ED连接EF、FG,证^/XEFG是等腰直角三角形.构造等腰直角三角形.方法三,如图14,AAEF绕点F顺时针旋转90°到ZCGF,ABDC图13&图12模型拓展1,等腰肓角三角形改为和似肓角三角形如图，RtAA
8、BC^RtAADE,ZACB=ZAED=90°fZABC=AADE=^F^DB的中点。则ZEFC=29CF=EF应用：已知，在△ABC、屮，ZACB=ZAED=90°,ZABC=ZADE=0,将两个三角形按照图3放置，则线段EF、CF的数量关系是；ZCFE=(用含有&的式子表示).证明：•:G、H分别是AB.AD的中点，・•・CG=AG=FH,GF=AH=EH.TZBGF=ZBAD=ZFHD,ZBGC=ZDHE=
