径向柱塞泵定子振动系统模型可化性探究

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1、径向柱塞泵定子振动系统模型可化性探究【摘要】定子振动系统是一个周期时变系统，对其振动特性的求解和分析非常困难，本文通过经过Lyapunov变换,利用周期时变系统的可化性，将周期时变的定子振动系统变换为定常系统，为径向柱塞泵定子振动系统的求解和分析奠定基础。【关键词】可化性；Lyapunov变换；定子振动系统；径向柱塞泵定子振动系统是一个周期时变系统，其刚度矩阵和阻尼矩阵是周期时变的，也就是说其系统矩阵是周期时变的，时变性会对系统的定性分析带来很大的困难。如果能将时变系统通过某种变换映射为某个定常

2、系统，然后通过对该定常系统的分析得出原时变系统的特征，这样对复杂的时变状态分析过程就会简化。如果能找到某种变换，将时变系统映射为定常系统，理论上称该系统具有可化性［1］［2］。本文将讨论定子振动系统的可化性问题，将其变化某一定常系统进行分析，为求得定子振动系统的模态特性、稳定性及稳态解周期性等研究奠定基础。定子振动数学模型式可写成n维自由度运动微分方程一般形式性［3］：其中根据线性微分方程组理论[1][2],任何高阶线性微分方程及方程组，均可化为线性一阶方程组的形式来加以研究，因此可将式(1)进

3、行以下降阶处理：引入状态变量，将方程式(1)改写为(2)其中，这样式(1)由二阶微分方程转化为式(2)的一阶微分方程组，这一转换过程是将其由位形空间转换到相应的状态空间，原系统特性不变。由于式(1)为周期时变系统，设TA为周期时变矩阵A(t)的周期，也就是振动系统的周期；则A(t+TA)=A(t)；设Tb为向量b(t)的周期，即b(t+Tb)=b(t)o设Y(t)是式(2)对应的齐次方程组的任意基础解阵,则(3)进而有：，由于，则(4)由式(4)可知：Y(t+TA)是式(2)对应的齐次方程组的任

4、意基础解阵，故Y(t+TA)非奇异，对于同样是式(2)基础解阵的非奇异矩阵Y(t),总存在非奇异定常矩阵G,使得(5)而对于非奇异定常矩阵G及正数TA,总存在定常矩阵D,使得矩阵G可表示为指数形式[5],即(6)则由式(5)和(6)可得；，取矩阵的逆矩阵，得(7)令(8)式(8)中,L()为Lyapunov变换矩阵[110],由式(7)和式(8),可得(9)对式(2)进行Lyapunov变换，令(10)进而(11)代入式(2),得(12)由式(10)和式(12),得(13)因为，两边对t求导，得

5、(14)由式(8)和式(12),可得(15)将式（8）、式（10）、式（15）和式（16）代入式（13）,：（17）这样，由式（2）所描述的径向柱塞泵定子的周期时变振动系统经过Lyapunov变换后，可转化为如式（17）所示的非齐次定常系统，并且该系统与原系统具有拓扑等价性。由于定子振动系统具有可化性，因此，研究径向柱塞泵定子振动系统的模态特性、稳定性以及稳态解的周期性研究，就可转化为对式（17）的研究获得，大大的简化了求解的过程和难度。