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1、浅谈用旋转解决平面几何问题向荣内容摘要：平面几何的证题方法多种多样，利用旋转來解决平面几何问题往往可以使解题过程变得更简单，起到事半功倍的效果。木文主要介绍适用于旋转解决的典型的平面儿何问题。关键字：旋转平面儿何思维方法学习数学，最重要的是学习、探索数学的思维方法，数学的思维方法很多，在这里我想说说我如何探索用旋转解决平面儿何问题。在教学过程中有这样几道题：例1：图1中以ZABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE及正方形ACFG,连结BG、CE.求证：(1)BG二CE；(2)BG丄CE.例
2、2：图1中以AABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE及正方形ACFG,连结BG、CE.(1)求证：AEAC竺ABAG；(2)△BAG可以看做△EAC由什么变换得到的.对于例1,-•般的证法是证HJJAABG与AAEC全等，然后应用全等三角形的性质。可我看见例2时，对于例1有了新的解法：由已知可知，点E绕点A逆时针旋转90°为点B,点C绕点A逆时针旋转90°为点G,从而知线段EC绕点A逆时针旋转90°为线段BG,故冇BG=CE,BG丄CE。例3：如图2,E、F分别是边长为1的正方形ABCD的
3、BC、CD—上的点，且ACEF的周长是2.求ZEAF的大小。这道题是出现在初中二年级《四边形》章节的竞赛题，我按常规思维把辅助线做出來，把题解出來，回头再來看这题时才发现它其实就是旋转。解：将AABE绕点A作逆时针旋转90°,则AB边与AD边重合,设旋转后E-E',由条件ACEF的周长为2,即CE+EF+CF二2,又BE+CE+CF+DF二2,JL显然冇BE二DE',故CE+CF+FE'=2.从而必有EF二FE',又AE=AE/,AF=AF,故△AEF9ZAE'F,・・・ZEAF二E'AF,又从
4、作图知ZEAE'=90°,故ZEAF=45°。我原以为旋转只能作为条件，告诉大家某些线段相等，某些角相等，在这里，我对旋转有了新的认识，它是解决平面儿何问题的有效方法Z—。是的，它确实是解决平面儿何问题的有效方法之一。可是我一开始为什么没想到用旋转解决例3,在什么情况下我们就该想到用旋转解决问题呢？下而我想针对这一问题发表下我的看法。在正方形中你不妨试试用旋转解题，原因有三：1、正方形四边都相等，具备旋转的条件，即旋转图形的对应线段相等；2、正方形四个角都是90°,90。角很特殊，是旋转问题屮常出
5、现的旋转角；3、旋转后，会出现垂肓及等腰肓角三和形，这对于问题的解决很有帮助。例如以上的例1、例30当然在正三角形中你不妨也想到旋转，原因也有三：1、正三角形三边都相等，具备旋转的条件，即旋转图形的对应线段相等；2、止三角形三个角都是60°,60°角也很特殊，也是旋转问题屮常出现的旋转角；3、旋转后，会出现60。及等腰、等边三和形，这对于问题的解决也很有帮助。例4：如图3,分别以AABC的边AB、AC为一•边向外作等边三角形ABD及等边三角形ACE。连结BE、CD。设M、N分别是BE、CD的中点。
6、求证：AAMN是等边三角形。证明：由条件可知，AADC绕点A逆时针旋转60°为AABE。即线段CD绕点A逆时针旋转60°得BE中点M,故AN二AM,ZNAM二60。,即AAMN是等边三角形。例5：如图4,P是等边三角形ABC内一点，且PA二3,PB二4,PC二5.求ZAPB的大小。解：将AAPC绕点A顺时针旋转60°,IIIABC为等边三角形知，此时所得新三角形一边与AB重合。设P旋转后为P',则ZXAPP'的边长为3的等边三角形，P'B二PC二5,又PB二4,故pp‘2+PB2=PzB2.从而y
7、PB是以ZP‘PB为直角的直角三角形,从而ZAPB=ZAPP,+ZP‘PB二60°+90°=150°o由旋转解决正方形和正三角形问题可以猜想遇到正多边形时也可以用旋转去解决吧。当然某些非正多边形也可以用旋转解决。正方形的一条对角线将疋方形分成两个等腰直角三角形，所以看见等腰直角三角形时，也可以尝试川旋转解题，理由与止方形类似。例6：如图(5-1),在AABC中,ZACB=90°,BC=AC,P为AABC内一点,且PA二3,PB=1,PC二2。求ZBPC的度数。图（5-1）B解：将AAPC绕点C顺时
8、针旋转90°,由ABC为等腰直角三角形知，此时所得新三形形一边与BC重合，设P旋转后为P‘o易证ACPP'为等腰直角三角形，在APEP，中，BPz=3,BP=1,P=2^2,由勾股定理的逆定理可知，AP，PB为直角三角形，ZP'PB=90°,/.ZBPC=ZCPP‘+ZP'PB=45°+90o=135°o既然等腰直角三角形可以川到旋转，那么闘心角是90°的扇形问题也可以用到旋转。例7、如图6,AABC是等腰直角三角形,D为AB的中点,AB二2,扇形ADG和BDH分别是以CC'AD、
