初中数学中的转化思想

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1、初中数学中的转化思想北京214中王永俊转化思想是常用的数学思想之一•它是指在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为已知的或比较简单的问题来解决，因此转化思想在初中的代数、几何中成为一个重要的数学思想.初中的代数、几何屮大量地渗透着转化思想，下面仅举几例加以说明.一、代数中的转化思想1.概念性的转化有些问题，在学习时我们并没有意识到它含有转化思想，然而掌握它以后对解决问题起了重要作用，如佇与同是两个不同的概念.通(a>0)(a<0)这就是一个概念的过算术根的含义建立起了J訐=

2、a

3、={:巧妙转化，使应用得心应手.又如：例1解关于x,y的方程组{x+ay=a2,x+by=b2.分析本题若

4、解方程组，解法较繁.但若用方程根的定义则可更漂亮地解决.解若圧b时，则方程组有无数组解.因为此时方程组就等价于x+ay=a2这个二元一次方程，对于任意一个实数x,都可求得相应的实数y,因此它有无数组解•若aHb,则由已知方程组的定义，得“、b是方程x+yt=t2(即Ryt・x=O)的根.由韦达定理，得a+b=y,ab=-x.故原方程组的解为fX=ab；ly=a+b・2.方法上的转化方法上的转化常是通过一定的数学方法使复杂问题降低难度.例2把(ab-l)2+(a+b-2)(a+b-2ab)分解因式.分析一般地说本题难度很大•但若用换元法就可转化为较易解的问题.解注意本题特点，a+b与ab

5、重复出现，于是设ab=x,a+b=y,贝U原式=(x・1)2+(y-2)(y-2x)=x2-2(y-l)x+(y-l尸(注意用公式)=[x-(y-l)]2=Lab-(a+b)+H2(代回)=[(a-l)(b-l)]2=(a-l)2(b-l)2.例3已知:x2+x-l=0,求x3+2x2+5的值.分析这是条件求值问题，若由x2+x・l=0求出x的值再代入求值，太繁了.但通过变形，用降次的方法进行转化，便迎刃而解了.解'：x2+x-l=0,.:x2=l-x.原式=x(1-x)+2(l-x)+5=x-x2+2-2x+5=x・(l・x)+7・2x=6.转化的方法常不是唯一的.灵活思考会得到不同

6、的转化途径.若把待求式拆拼出己知形式可得下列解法.解法二Tx2+x-l=0,原式=(x3+x2-x)+(x2+x+5)=x(x2+x-l)+(x2+x-1)+6=6・这叫凑零法.还可以有多种方法，但用多项式除法原理则更简捷.原式二(x+1)(x2+x-1)+6・•/x2+x-l=0,•I原式=6・二、几何中的转化思想在几何的证明中大量存在转化思想.1.利用合同变换转化对称、平移、旋转称为合同变换，在几何中经常出现.例4已知梯形ABCD中，CD/7AB,ZBAD+ZABC=90°,M>N分别为AB和CD的中点.求证：MN=j(AB-CD)・分析本题求证中线段的关系较分散.从题目特点考虑，

7、注意到ZBAD+ZABC=90°,贝9将AD、BC向内平移会出现基本图形RtANEF.问题转化为证明MN为RtANEF斜边上的中线,又转化为AB-CD=EF=2MN即可(证明略).2.利用相似变换转化一些等积式常要用相似变换转化.例5如图，AABC中，AD二DB,DF交AC于E,交BC延长线于F.求证:AE•CF二EC•BF・ACBF样ECCF分析我们把AE•CF=EC•BF改写成比例的形式:不出相似三角形，于是考虑做辅助线转化为相似三角形(或平行线分线AF段成比例定理）・作CG"AB,交DF于G,易得出两个比例式鲁

8、=—,—,而AJD=BD,所以竺=竺，即CGCFCGECCFAE•C

9、F二EC•BF（证明略）.1.用化归方法转化“化归”，即把不熟悉的问题转化为与己熟练掌握的题目或定理联系起来思考.例6如图，圆内接四边形ABCD的对角线相交于P点.求证：AB-AD:CB•CD=AP:PC.分析这个题难度很大，很难下手，但方法对头就由难转易，如果我们采取化归的办法清理思路就不难了.从求证中看出比例式两边方次不同，可能是右边约去了因式，然而又很难寻找约去的因式，怎么办呢？可考虑“化归”・我们从求证中看到AB-AD与CB-CD都是相邻两边乘积，于是可联想已知：ZXABC内接于OO,为厶ABC中BC边上的高，AE为AABC外接圆的直径.求证：AB•AC=AD•AE.这个题目是

10、很容易证的，只要连结BE,证明△ABE-AADC,或连结EC,证明△ABD-AAEC即可.这个题用语言叙述就是“三角形两边之积等于其外接圆直径与第三边上的高之积”・用这个题的结论去证例6町以发挥绝妙的作用.对例6不必再做分析就可证明.可见化归方法在转化中作用的奇妙，它的特点是简捷、明了、集约化思考•2.形数间的转化有时形中隐含数量关系，可转化为数量关系解决.例7如图，矩形ABCD屮AE=ED,若EF把矩形ABCD的面积分为1：2,则気=rJA勺