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1、具有可加性质的概率分布总结陈颖章（清华大学工程物理系工物32班2013011716）【摘要】随机变量的可加性是概率论与数理统计中一个非常重要的课题。木文从随机变量的特征函数（或母函数）出发，总结各类具有可加性质的分布并给出证明和背后的概率意义。【关键词】可加性；独立同分布；母函数；特征函数引言若独立同分布随机变量和的分布仍属于此类分布，则称该分布具有可加性。可加性从数学分析的角度去理解，就是密度函数（或分布列）的卷积（或离散卷积）不变性。从代数的角度去理解，服从某一个具有可加性的分布的随机变量和随机变
2、量之间的加法构成一个群（川以补充定义单位元）。本文只讨论一•维分布。一、离散分布尽管对离散分布我们也可以去求它们的特征函数，但处理离散问题，我们往往更喜欢用Z变换而不是Fourier变换。【定义】：设X是一个离散随机变量，称十80⑵二工P（X=R）r=0/）-00为X的母函数【定理1.1】：独立随机变量和的母函数为每个随机变量的母函数的积，即设X和Y相互独立，则0x+y（Z）=0x（Z）4（Z）证明：因为X和Y相互独立，所以/与/也相互独立，从而0“⑵=E（zx+y）=E（zxzy）=E（zx）E（z
3、y）=族（讷（z）【定理1.2］：离散随机变量的分布列由其母函数唯一确定证明：因为母函数处2）的Laurent级数展开是唯一的，所以其分布列也是唯一的卜•面从母函数入手，讨论几个离散分布的可加性及其概率意义【二项分布】若Xb（"），记q亠P，则分布列P(X=0丄…〃母函数0x(z)二亍P(X=k)zk二/=亍(：)(/及)*/1=(pz+q)"k=0k=0k=0若Yb(in,p),同理有0丫U)=(pz+q}n所以0x+y(Z)=如⑵必⑵=(PZ+qSpz+q)m=(pz+q)n+m由唯一性定理知X
4、+丫b(5,p),即二项分布具有可加性从概率意义上看，二项分布是n重Bernoulli试验中出现概率为p的事件A的次数的概率分布。讨论n+m次试验屮事件A出现次数的概率分布，只需要把这n+m次试验分成两组试验，其中一组有n次试验，另一组有m次试验，统计两组试验的事件A出现的次数，再相加。所以二项分布具有可加性是非常显然的。或者从一个二项分布可以表示为n个二点分布之和也可以得到结论，见关于负二项分布和r分布的讨论[Poisson分彳j]k若XP⑷,则分布列P(X=k)久k母函数00QC2k000x(z
5、)=》P(X=k)d=£石厂*=工*=o*=ok•r=o若丫p加,同理有％⑵=严门所以0x+,z)=0x(z)@(z)=严叫心)=严“如)由唯一性定理知X+YP"+“)，即Poisson分布具有可加性从概率意义上看，Poisson分布是二项分布当兀―00时的极限，二项分布具有可加性，所以Poisson分布也具有可加性【负二项分布】负二项分布在绝大多数教材里并未提及，先简单叙述一下负二项分布的定义。在Bernoulli试验序列中，若每次试验中岀现事件A的概率为p,记X为事件A笫r次出现时的试验次数，则X
6、的分布列为戶仇*)=(二：)盯广呉=厂,厂+1,...记为XNb(5母函数00CO00QO0x⑵二工p（x=k）zk二=£（丁）内力二/「£（阳）（％）k-rk=rj=0j=0=0,£（r+“l）...（r+l）r@）j=（-一I）：—+l）（_]）s）,；=o丿!j=oj!co“工（7）（-1）3冃）=/吃（：）（-％）'=//（l-^z）若丫Nb(s,p),同理有0x+y⑵=0x(Z)@⑵二故戶0由唯一性定理知x+yNb(r+s,p),即负二项分布具有可加性从概率意义上看，如果记笫一个A出现的试验
7、次数为X】，(从第一个A出现以后)第二个A出现的试验次数为X?,…，第I•个A出现的试验次数为X「,则X/独立同分布，且&G心)，此时有X=X]+X2+・・・+X「Nb(r,p),即负二项分布的随机变量可以表示成r个独立同分布几何分布随机变量Z和。对负二项分布随机变量丫胡+均+・・7Nb(s,p),有X+Y=Xx+X2+-+Xr+Yt+Y2+-+YsNb(r+s,p)f故负二项分布满足可加性【离散可加性分布的思考】观察具有可加性质的分布的母函数的形式，都可以化简为其中。是分布中参数的一个函数。也就是说
8、，凡是母函数具有这一形式的分布，都具有可加性。利用这个特点，我们可以构造出许多具有可加性的分布比如对于整数阶Bessel函数人⑴,满足微分方程f2118兀2耳+兀冬+(兀2—”,=0厂=SJnW.，其母函数为,。可以定义如下的Bessel分布：设随机变量X丿(⑵，则分布列P(X=小=人S),在母函数里令z=l,x=Q,容易验证这个分布列满足止则性要求若随机变量丫"0),容易验证有X+Y"Q+0),即Bessel分布具有可加性。类似的分布还可以构造很多很
