第3 编数理逻辑第6 章命题逻辑

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1、第3编数理逻辑第6章命题逻辑16.1命题的概念与表示命题日常语言不确切，具有二义性——需引入目标语言、公式符号。目标语言：表达判断的一些语言的汇集。判断：肯定、否定的思维形式。命题：能表达判断，具有确定真值的陈述句。2真值：命题的判断结果称为真值。只有“真”和“假”两种，记为“T”和“F”，或“1”和“0”。没有判断无所谓是非的句子——感叹句、疑问句、祈使句不是命题。原子命题：不能分为更简单的陈述句。复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。用大写字母A,B,...,P,Q,...或Ai,[12]等

2、表示命题。例P:今天下雨。[12]:今天刮风。命题标识符：表示命题的符号。3例：语句是否命题真值中国人民是伟大的。雪是黑的。1+1=10别的星球上有生物。全体立正！明天是否开会？天气多好啊！我正在说谎。我学英语，或者我学日语。如果天气好，那么我去散步。√√×√×××√√10?(悖论)√?4命题常量：一个命题标识符表示确定的命题。命题变量：一个命题标识符仅表示任意命题的位置标志(无真值)。原子变元：命题变元表示原子命题。56.2命题联结词复合命题——原子命题+联结词否定¬定义设P为命题，P的否定是一个新的命题，记

3、为¬P。若P为T，则¬P为F；若P为F，则¬P为T。P¬P1001例：P：上海是大城市。¬P：上海不是大城市。或上海是不大的城市。一元联结词。6合取∧(并且)定义两个命题P、Q的合取是一个复合命题，记作P∧Q。当且仅当P、Q同为T时，P∧Q为T；在其它情况下，P∧Q的真值为F。PQP∧Q000010100111例:P:今天下雨.Q:明天下雨.P∧Q:今天下雨且明天下雨。今天明天都下雨。这两天都下雨。二元联结词。7与自然语言不同。P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。P∧Q：我们去看电影且房间里有十张桌子。——

4、仍是新命题。可将若干个命题联结一起。P：高中毕业。Q：上分数线。R：被某大学录取。P∧Q∧R：大学生。8析取∨(或者)定义两个命题P、Q的析取是一个复合命题，记作P∨Q。当且仅当P、Q同为F时，P∨Q为F；在其它情况下，P∨Q的真值为T。PQP∨Q000011101111例:P:今天下雨.Q:今天刮风.P∨Q:今天下雨或者刮风。二元联结词。9日常语言中的“或者”可分“可兼或”与“不可兼或”两种：例1：今天晚上我在家看电视或去剧院看戏。(不可兼或)例2：他可能是100米或400米赛跑的冠军。(可兼或)析取是可兼或

5、。例3：P:他中了大奖。Q:他中了小奖。P∨Q:他中了大奖或者中了小奖。(也可能两奖都中)10不可兼析取(排斥析取)定义设P、Q是两个命题，复合命题PQ称为P、Q的不可兼析取。PQ的真值为T当且仅当P与Q的真值不相同；否则，PQ的真值为F。PQPQ000011101110例:P:他坐船去大连。Q:他乘车去大连。PQ:他坐船或乘车去大连。二元联结词。PQ(P∧¬Q)∨(¬P∧Q)11蕴含→(条件)定义两个命题P、Q的蕴含是一个复合命题，记作P→Q。当且仅当P的真值为T，Q的真值为F时

6、，P→Q的真值为F；在其它情况下，P→Q的真值为T。PQP→Q001011100111例1:“如果某动物为哺乳动物，则它必胎生”。将命题符号化。设P:某动物为哺乳动物。Q:某动物胎生。命题符号化：P→Q。且命题为真：P→Q1。二元联结词。12例2:“如果我得到这本小说，那么我今天就读完它”。将命题符号化，并求命题的真值。解设P:我得到这本小说.Q:我今天就读完它.命题符号化：P→Q。且命题的真值有以下四种实际情况：(1)我得到这本小说，我今天读完它。(T)(2)我得到这本小说，我今天没有读完。(F)(3)我没

7、有得到这本小说，我今天读完它。(T)(4)我没有得到这本小说，我今天没有读完。(T)13例3:“如果雪是黑的，那么太阳从西方出”。将命题符号化，并求命题的真值。解设P:雪是黑的。Q:太阳从西方出。命题符号化：P→Q。且命题的真值：P→Q1.■例4:“如果雪是黑的，那么太阳从东方出”。将命题符号化，并求命题的真值。解设P:雪是黑的。Q:太阳从东方出。命题符号化：P→Q。且命题的真值：P→Q1.■14P→Q中P称为前件，Q称为后件。自然语言中，若前提为假，无论结论为真或假，往往无法判断。PQP→Q0010111

8、00111在条件命题中，当前提为假时，结论都为真——称“善意的推定”。P→Q“如果P那么Q”“只要P则Q”“从P推出Q”“P仅当Q”“只有Q才P”“P蕴含Q”15等价(双条件)定义给定两个命题P和Q，复合命题PQ称为双条件命题。当P、Q的真值相同时，PQ的真值为T；在其它情况下，PQ的真值为F。PQPQ001010100111例1:“两个三角形全等当且仅当对应边相等