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1、1排队论及其应用西北师范大学数学与信息科学学院冯慧芳主要研究方向：网络性能评价网络业务建模和预报随机服务系统2CH3一般到达或服务模型M/G/1排队模型考虑一个排队系统一个服务器，无穷等待位客户到达服从泊松过程，速率λ任意服务时间分布函数，平均服务速率μ（即单位时间服务μ个客户），服务时间CDF分布：B(t)用M/G/1表示3设系统的平均到达率为，任一顾客的服务时间为V,且有：E(V)=1/<，D(V)=2<服务强度：=/不论V服从什么分布，只要<1,系统就会达到稳态，并有稳态概率为：P0=1-M/G/1模型稳态解Wi=第i个客户
2、排队等待时间.Ri=第i个客户到达时server的剩余服务时间,如果队列空,则Ri=0.Xi=第i个客户的服务时间.Ni=第i个客户到达时队列内客户数M/G/1Queue-Notation假定客户i在队列内的等待延迟为Wi,当服务为FCFS时,其值为因为服务规则为FCFS,独立于队列内客户的服务时间Xj,所以Ni也与队列内客户的服务时间Xj独立.当服务规则为其他时，P-K公式同样成立Pollaczek-KhinchinFormula(P-K公式)P-K公式（Contd.）但是如果使用大客户(要求的服务时间长)优先的服务规则,则不可以用E(N)乘服务时
3、间的均值加以计算.令i→∞,得其中，R和NQ分别为顾客到达时，所看见的系统上一顾客的平均剩余时间和队列中的平均顾客数P-K公式(Contd.)Little’s定理NQ=λW得解之得W=R/(1-ρ)ρ=λ/μ<1.确定平均剩余服务时间R:因为稳定系统是遍历的,可以用时间平均代替统计平均.剩余服务时间R(t)的图形如下图中三角形斜边代表的函数为R(t)(server内剩余服务时间).AverageResidualTimeAverageResidualTime(Contd.)AverageResidualTime(contd.)P-KFormulaExa
4、mples:例子：一个单服务器排队系统，客户到达可视为泊松过程，平均每小时到达10个。服务器平均服务时间5分钟，服从指数分布。现在如果有一种措施，可以把服务时间标准差从5分钟减为4分钟，但是平均服务时间会延长到5.5分钟？问这种措施是否必要？未采取措施，M/M/1，采取措施，M/G/1M/G/1对服务时间均值更敏感14M/G/1withVacation以前讲的排队系统都是workconserving系统:只要队列内有等待的客户server就要工作.在有休假期的排队系统中当系统由忙转为闲时server开始一段时间的休假,在休假期内,即使队列内有客户,s
5、erver也不服务.设server的休假时间为有任意分布的随机变量V,均值为E(V),二阶矩为E(V2).当休假期满时,如系统内仍无客户,则server继续下一个休假期.假定这些休假期是i.i.d随机变量.Averageresidualservicetimewithvacations将(P-K)公式推广到这类系统客户到达时,如server忙,则该客户需要等一段剩余服务时间;如果server在休假期中,则该客户要等一段剩余休假期.上述两类时间统称为server剩余时间r(τ),如图3.19所示.Averageresidualservicetimewit
6、hvacations（Contd.）Averageresidualservicetimewithvacations（Contd.）Example:SlottedM/D/1systemEachslot=onepackettransmissiontime=1/μTransmissioncanbeginonlyatstartofaslotIfsystemisemptyatthestartofaslot,servernotavailablefortheslot(vacation）Noticethatanaverageof½slotisspentwaiting
7、forthestartofaslotM/G/c/c损失模型M/G/c/c排队模型系统中c个服务器，无等待位泊松到达，服务时间任意分布，CDF为B(t)，平均服务时间1/μM/M/c/c的状态概率同样适用于M/G/c/c，20ErlanglossformulaG/M/1的解客户到达前瞬间系统内有n个客户的概率为对比M/M/1，区别在于用r0替换ρqn仅仅是一个客户进入系统前瞬间系统内有n个客户的概率，不同于任意时刻系统内有n个客户的概率pn，且pn≠qn21考虑客户进入前瞬间的系统指标。参考M/M/1的推导过程，有22这里的上标A表示客户进入的时刻（a
8、rrival）23END
