2020年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题5.4平面向量的应用（讲）含解析

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1、2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入第04讲平面向量的应用---讲1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.高考预测：（1）以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；（2）以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．力学方面应用的考查较少.3.备考重点：（1）理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算、数量积运算的方法是关键；（2）解答

2、与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，转换成利用坐标运算求解问题.知识点1．平面向量在几何中的应用1.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．2．共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.3.向量共线的充要条件的坐标表示若，则⇔.4.设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：（1）a·b＝a1b1＋a2b2.（2）a⊥ba1b1＋a2b2＝0.【典例1】（2

3、019·浙江高考模拟）如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，先将C视为定点，设∠CAB＝θ，θ∈[0，），则AC=2cosθ，连接CB，则CBAC，过O作AC的平行线交圆于E，交BC于M，且M为垂足，又知当D、C在AB同侧时，取最大值，设D在OE的投影为N，当C确定时，M为定点，则当N落在E处时，MN最大，此时取最大值，由向量的几何意义可知，=，最大时为，又OM=cosθ,∴cosθ，∴最大为2cosθ,当且仅当cosθ=时等号成立，即θ=，∴的最大值为.故

4、选A.【思路点拨】1.本题考查向量数量积的几何意义，考查了数形结合思想，解题关键是找到数量积取得最大时的D的位置，当题目中有多个动点时，可以先定住一个点，是常用的手段.本题先将C视为定点，过点作的平行线交圆于点，交BC于M，且M为垂足，设D在OE的投影为N，由向量的几何意义可知，=，只需当N落在E处时，MN最大，求得2cosθ，再由θ∈[0，）求得最值即可.2.涉及求最值问题，往往有两种思路，一是利用几何图形的特征确定最值状态，二是利用函数观点，建立函数关系，求函数的最值.【变式1】（2019·浙江高三期中）

5、已知向量，满足，，若对任意实数x都有，则的最小值为______【答案】【解析】如图，由，知在上的投影为2，即，，对任意实数x都有，．由摄影定理可得，．设，取，可得P在直线BC上，线段OP的最小值为O到直线BC的距离，当时，．故答案为：．【典例2】（2019·四川高考模拟（文））直线与圆：交于，两点，向量，满足，则实数的取值集合为______.【答案】【解析】由，满足，得，圆：的圆心为，半径为，点到直线的距离为1，由，得.故实数的取值集合为.【思路点拨】根据条件可以得到，从而得出点到直线的距离为1，进而利用点到

6、直线的距离公式求出.【变式2】（2019·江苏高考模拟）在平面直角坐标系中，已知，为圆上两点，且．若为圆上的任意一点，则的最大值为______．【答案】【解析】因为为圆x2+y2＝1上一点，设（sinθ，cosθ），则，∵，为圆上两点，∴，又，∴，其中，∵∈[﹣1，1]，∴当＝1时，的最大值为．故答案为：．考点1平面向量与几何图形【典例3】（2019·江苏高考模拟）在平面四边形ABCD中，，，．若，则的最小值为____．【答案】【解析】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系.则，，设

7、，则，，因为所以，即：整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为的圆上.在轴上取，连接可得，所以，所以由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小.此时最小为.【总结提升】向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．【变式3】（2019·北京高考模拟（理））如图，在菱形中，，.（1）若为的中点，则_

8、_____（2）点在线段上运动，则

9、

10、的最小值为___________【答案】0，【解析】（1）菱形ABCD中，∠B，AB＝4，P为BC的中点，∴BP＝2，AP＝2，∴AP2+BP2＝AB2，即AP⊥BP则•0（2）∵点P在线段BC上运动，可设BP＝x，M为AB中点则

11、

12、＝2

13、

14、△BPM中，PM2x2-2x+4，∵0≤x≤4，当x＝1时，PM有最小值，即

15、

16、＝2

17、

18、的最小值为故答案为：0，考点2平面