抛物线过焦点弦性质的探究和引申(教案)

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'抛物线过焦点弦性质的探究和引申(教案)'
抛物线的焦点弦教学目标:(1) 掌握抛物线焦点弦的有关性质。(2) 在进一步培养数形结合、分类讨论、转化等数学思想方法的过程中,提高学生的研究性学 习能力。(3) 培养学生科学探索精神,体验合作与分享的快乐。教学重点:抛物线焦点弦有关性质的探究。教学难点:梳理探究问题的方法,培养解决问题的能力。教学方法:网络教室的演示法。一、背景通过网络教室的演示法,将探究式及协作式学习进入了课堂教学,利用已有的知识和方 法认识新事物、解决新问题的过程,尤其是培养学生的创新精神和实践能力,转变教学观念。 以“抛物线的焦点弦性质”的网络教室的演示法的尝试。同时,、实施分层教学,满足不同学 生的不同发展需求,进一步培养学生数学学习的创新能力,进一步培养学生的自主探究与合 作交流的学习方式。二、教学过程1、创设情景,引入课题抛物线的定义:平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹。例:斜率为1的直线经过抛物线严=4兀的焦点,与抛物线相交于两点A、B,求线段AB的 长。解:如图,由抛物线的标准方程可知,抛物线焦点的坐标为F(1,O),所以直线AB的方为 y = x-\ 将方程①代入抛物线方程得,(x-1)2=4x解这个方程,得将西=3 + 2“ 左=3-2血将它代入方程①中得必=2 + 2^2 =2-2^2可以AB\= 7(4V2)2+(4V2)2 =8由抛物线定义得,|AF|等于点A到准线1的距离, 则 |丛|=西 +1 同理 |阳|=羽 + 1 \^B\=\AF\ + \BF\=x^x2 + 2 联立直线与抛物线方程得-6兀+ 1=0 则由根与系数的关系得X] + %2 = 6 | AB |— 6 + 2 — 81) 、涉及相交弦的问题最基本的解决办法:把直线方程代入曲线方程求交点坐标;2) 、抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦 \AB\= xA +x^p2、提出问题,引发探究可从哪些方面探究与焦点弦有关的问题?可以得到哪些结论?能否作进一步的拓展呢? 抛物线的特殊性,决定着抛物线有关问题常常与其焦点弦长有关,借助其方程和性质可探求 规律性的结论,利用某些结论和结论的探求方法可迅速寻求某些问题的求解途径.1)用方程和性质探求规律性结论.设抛物线方程为八2四(以),弦AB为过焦点嗚°)的直线方程(-号)(2 0),联立分别消X, y 有),2_込_宀0和"十(2+"+空=0设AOij), B(兀2,儿)弦AB中点C(兀0,儿),A、B、C分别 k 4在准线上的射影为Ak Bk C]则有结论. ① 小,=-比“,=尤,即有抛物线b =2px(/»0)的弦AB过焦点的充要?1 2 1 2 4条件为儿为二-",(或尢內二牛)② 丽=人+型BFI[+#,Iab匕z+p=半存+” =2/?(^^) = 2p1 + ta^ a - 2〃(1 + cot2 a) = 2f > 2pIc tarra snra(a为弦AB的倾斜角)?即“抛物线过焦点的弦长最小值为通径长2P”)学生进行小组交流,把与抛物线焦点弦有关的问题进行汇总、整的揭示。理,老师引导重点解决的问题:抛物线定义的运用、直线与圆锥曲线相交问题、曲线的轨迹 方程问题、最值问题。问题解决过程屮应注意暴露学生思考问题的思维过程和数学思想方法2 -卩-P p?⑤ |ccd=丄(|AAJ + |BB||)二丄(|AF| + |BF| )=丄|AB|,即“以焦点弦长为直径的圆与2 2 2其准线和切” ?⑥ ZAO.Be(0^1(0|为原点°在准线上的射影,当| AB I =2P吋,00宀却.⑦ 通经的端点和顶点构成的等腰三角其顶角和而积为定值.(证明略)⑧ 通经的两个端点和顶点构成的等腰三角形的面积是过焦点的弦长和顶点构成的三角形 的面枳的最小三角形.用面积分割法和不等式证明.SmobJ?和fl#厶2 +旳2_2加2,用结论和均值不等式,注意到)订2=-沪<0,则有 S^\OH = y ? y |>'l - V2| =-^7>'12+>?22-2>'13?2 ?当且仅当力=-力,即弦 AB过焦点,结论成立.注:以上结论当斜率不存在时,验证也成立.2)用结论和结论探求的方法求解高考问题.例1 (2001高考)设抛物线b =2/zr(°〉0)的焦点F,经过点F的宜线交抛物线于O~lA、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC//X轴,证明直线AC经过原点. 简析:用结论①的探求过程算斜率求解?设AB的方程为y*气)与 — y2 = 2px 联立消兀有,y2 - y - p2 = () C 设 A (州,)[), B (坷,风)贝J 卩力二一厂, C(-£*2 ),^OA ~ ~ > K 一 儿 一 2),2 — 2p y\" = 2pxx, ? ? _ ' X, _ y, _ 即 AC2 石K°c_.p__p_儿, 仏-〒-亍S2过原点0;当k不存在时,AB丄X轴,同理可证k()c =k0A, 9即AC过原点0, 故命题成立.例2 (2000高考)过抛物线y二^用⑺〉。)的焦点作直线交于p、Q两点,若线段PF、QF的长分别为p和q,则丄+丄等于:A, 2a?B 丄?C 4a. D丄.p q 2a 4<i简析:认识焦参数p二丄,所求几何量与方程无关,用结论可产生三种解法. 2。(1)用结论③l+l = _l_=4a; (2)特殊化思想,I i = 2=_2_=4a; (3)运动变化,极限思想,p为顶点,q为无限远点;则1 1 1 C 1 /|PF| |QF| p_ 『2例3 (87高考)定长为3的线段AB的两个端点在b »?上移动,记线段AB中 点为M,求点M到y轴最短距离,并求此时点M的坐标.简析:用结论的探求方法定义及平几知识求解.如图AB的中点A、M、0、B在准线上的射影分别为Ai、Mi、CLB】,由抛物线的定义,借助平几知识有+ 丄二.MM11 = 1(1 AA{ 1 + iBBi” 丄(\AF\ + \BF\)^-|AB|=-,即 x>--94 2 2 2 2 ~ 2 4 4 B三点共线时取等号,此时弦过抛物线的焦点,问题化为焦点 弦中点横坐标为建立焦点弦的方称,或利用45 9 9“+七乜"+琢F+七 可求得坐标为(丄,土返)=(Ji + $2 F - 2” y2 = (_>'i +『2 尸 + 2"2, 4 2三、课堂小结:(1) 归纳探究直线与圆锥曲线问题的一般方法;(2) 在问题解决过程中涉及的数学思想;(3) 探究、解决抛物线焦点弦问题的过程给我们的启示。四、作业
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