对Kummer判别法的讨论

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1、第S卷*第2期株洲师范高等专科学校学报T?E+SU?+2*’))&年()月5,4VU/W,XK34K3,4ID/A3DVBA,WWDFD,C>+’))&!对!"##$%判别法的讨论胡晶地（浙江广厦建设职业技术学院计算机与电气工程系，浙江东阳&’’())）摘*要：比式判别法和根式判别法是对正项级数收敛性进行判别的两种广用的方法+但如果正项级数的通项收敛于零的速度较某一几何级数的通项收敛于零的速度慢，这两种方法则无用+先讨论一个判别范围更广的!"##$%判别法，并将传统的几种方法作为此判别法的一种特例给出+关键词：正项级数；收敛；发散中图分类号：,(-.+’(**文献标识码：/

2、**文章编号：())01(.&’（’))&）)21))2.1)&!"#$%##"&’&’()*+%,,*-.*#(3456789:6（;$<=%>#$7>?@A?#<">$%BC6$7C$=7:DE$C>%6C=ED7867$$%678，F"=78GH=A?EE$8$?@/<%"C>6?7I$CH7?E?8J，;?78J=78，KH$L6=78&’’())，AH67=）/0#(-1$(：IH$%=>6?>$G>=7:>H$%??>>$G>=%$>M?M6:$EJ"G$:C?7N$%8$7C$>$G>G@?%6N$G$%6$G+3?M$N$%，6

3、@>H$"7:$%EJ678G$O"$7C$?@6N$G$%6$GC?7N$%8$GGE?M$%>H=7>H=>?@=7J8$?#$>%6CG$%6$G，>H$G$>M?>$G>G:?7?>M?%P+Q7>H6G<=<$%>H$!"##$%>$G>M6>H=M6:$%>$G>%=78$M=G:6GC"GG$:，M6>HG?#$>%=:6>6?7=E>$G>G=G6>GG<$C6=EC=G$G++*23&-4#：6N$G$%6$G；C?7N$%8$7C$；:6N$%8$7C$**先给出两个大家都熟悉的定理：RRRR时，0#!也收敛；当0#!发散时，0&!也

4、!"(!"(!"(定理5*正项级数0#!收敛的充要条［(］（

5、可得/，即#’!*!!0’!收敛(!&!’!*!!!+,，也即（$）当!"#"时，有$!,"，且’!!*!##!!!+’!*!!，（$）%&’0&*#，则级数0’!发(),!*!!%(#%&!)%!&!’!［$］（)$*++$**）散(显然（!）式与（$）式等价(证明!（!）设!"!时，有$!/%""，在定理,（!）中，当)!&!时有当!"’!#"，从而!"!时，有)!+)!*!/%""，即’!*!’!!+（!*!）/%""，（,）’!)!+’!*!)!*!/%’!*!""，于是’!*!当!"!时，有：#则级数0’!收敛(’$)$+’,),/%’,，!&!’,),+’-)-

6、/%’-，从不等式（,）可得!(!+’!*!)/（!*%）!，⋯⋯，’!!*!*%’!)!+’!*!)!*!/%’!*!(（-）从而有’$)$"’$)$+’!*!)!*!/（%’,*同样（,）式与（-）式也等价(由此可得##’-*⋯*’!*!）&（%,!*!+,$），因此得0’!定理".设0’!为正项级数，且存在某!&!!&!#自然数#"及正数%(的部分和数列｛,!｝有界，所以0’!收敛(!&!（!）当!"#"时，成立不等式（$）同样不妨设!"!时，有$!,"，从而’!#!!+!*!，则级数’发散(’(),0!!"!时，有)!+),"，即’),’!!*!!&!!!*!!!’

7、!*!（$）当!"#时，成立不等式"’!*!)!*!，由传递性得!"!时，’$)$,#’!*!（!*%）!’$)$!(!+)/!*!*%，则级数0’!收敛(’!*!)!*!，即,’!*!(’!!&!)!*!在定理-的基础上易得如下的定理，即##!!考虑到%&’0&*#，0发散，因此著名的拉贝（/0012）判别法(!%(#%&!)%!&!)!##由比较原则得0’发散(定理#!设0’!为正项级数，且存在某!!&!!&!自然数#"及常数.(在定理,（!）中，当)!&!时，即存在#"’（!）当!"#"时，成立不等式!及常数