初一数学竞赛讲座4

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1、初一数学竞赛讲座(四)有理数的有关知识一、知识要点1、绝对值x的绝对值的意义如下：=是一个非负数，当且仅当x=0时，=0绝对值的几何意义是：一个数的绝对值表示这个数对应的数轴上的点到原点的距离；由此可得：表示数轴上a点到b点的距离。2、倒数1除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于1。3、相反数绝对值相同而符号相反的两个数互为相反数。两个互为相反数的数的和等于0。二、例题精讲例1化简分析：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0求出零点，然后用零点分段法将绝对值去掉，从而达到化简的目的。解：由2x+1=0、x-3=0、x-

2、6=0分别求得：x=-1/2，x=3，x=6当时，原式=-(2x+1)+(x-3)-(x-6)=-2x+2当时，原式=(2x+1)+(x-3)-(x-6)=2x+4当时，原式=(2x+1)-(x-3)-(x-6)=10当x≥6时，原式=(2x+1)-(x-3)+(x-6)=2x-2∴原式=评注：用零点分段法，通过零点分段将绝对值去掉，从而化简式子，解决问题是解决含绝对值问题的基本方法。 例2已知的最大值和最小值。(第六届迎春杯决赛试题)分析：先解不等式，求出x的范围，然后利用绝对值的几何意义来求最大值和最小值。解：解不等式得：的几何意义是x到1的距离与x到-3的距

3、离的差，从上图中可以看出：当x≤-3时这差取得最大值4，因，则当时这差取得最小值.评注：1、本题是采用数形结合的思想，用绝对值的几何意义来解题。2、本题求得x的范围后，也可用零点分段法将化简，然后求出最大值和最小值。=由上式可以看出：当x≤-3时取得最大值4，当时取得最小值 例3解方程(第六届华杯赛决赛初一试题)分析：两个非负数的和是0，这两个非负数必须都是0。解：由原方程得由(1)得：从而x=x-3.1415926或x=3.1415926-x，所以x=1.5707963由(2)得：从而所以y=或y=于是，原方程的解是评注：两个非负数的和是0，这两个非负数必须都是

4、0是解题中常用的一个结论。本题中，求中的x值也可以用绝对值的几何意义来解，表示x到原点与到3.1415926的距离相等，因而x是原点与点3.1415926连结线段的中点，即x=1.5707963 例4有理数均不为0，且设试求代数式2000之值。(第11届希望杯培训题)分析：要求代数式2000的值，必须求出x的值。根据x的特征和已知条件，分析a与b+c,b与a+c，c与a+b的关系，从而求出x的值。解：由均不为0，知均不为0．∵∴即又中不能全同号，故必一正二负或一负二正．所以中必有两个同号，即其值为两个＋1，一个－1或两个－1，一个＋1．∴∴因此， 例5已知a、b、

5、c为实数，且求的值。(第8届希望杯试题)分析：直接对已知条件式进行处理有点困难，根据已知条件式的结构特征，可以将它们两边取倒数。解：由已知条件可知a≠0，b≠0，c≠0，对已知三式取倒数得：三式相加除以2得：因为，所以=例6求方程的实数解的个数。(1991年祖冲之杯数学邀请赛试题)分析：1可以化成：，于是由绝对值的性质：若ab≤0，则可得(x-2)(x-3)≤0从而求得x解：原方程可化为：则(x-2)(x-3)≤0，所以，所以2≤x≤3因此原方程有无数多个解。评注：本题很巧妙地将“1”代换成，然后可利用绝对值的性质来解题。在解数学竞赛题时，常常要用到“1”的代换。

6、 例7求关于x的方程的所有解的和。解：由原方程得，∴∵0

7、(3)得：∴∴∴x=y=z=1故原方程组的解为：评注：本题在对方程组中的方程两边取倒数时，不能忘了x=y=z=0这组解。否则就会产生漏解。 一、三、巩固练习选择题1、若()A、1B、-1C、1或-1D、以上都不对2、方程的解的个数是()(第四届祖冲之杯数学邀请赛试题)A、0B、1C、2D、3E、多于3个3、下面有4个命题：①存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同。②存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同。③存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同。④存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同。其中正确的命题是：（）（A）①和②（B）②和③（C）③和④（D）④和①4、

8、两个质数的