一元二次方程根的判别及根与系数的关系易错点剖析

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1、根与系数关系的应用错例示例一元二次方程屮根与系数的关系为：如果d+滋+尸0（臼H0）的两个根是hcK，那么Xi+/2=—-，K•曲=-•此结论成立的条件是“原方程存在两个aa根心和..b一、例1判断正误：方程：加+加+尸0（日H0）的两根Z和为一-.（）a错解：对・正解：错误.因不知方程是否有根.二、例2若方程r+W-1）^+1+/^=0的两根互为和反数，则刃的值为（）(A)l或一1；(B)l；(0-1；(D)0.错解：选A.正解：选C.因当刃=1时，原方程无实根.三、例3下列方程中，两根之和为土的方程是（）(A)3x2—x+2=0；(B)

2、3x2+x+2=0；(C)x2-(D)6x2一2x—1=0.错解：选A或C.正解：选D.因方程A,C均无实根.方和为7,求加的值.错解：设方程两根为Al,X2,贝吆+&=2加+1,Xx•^2=(/ff+l)2.V^i2+^22=7,.I(xi+e)‘―2石走=7,(2刃+1)'—2(/〃+1)"=7・艮卩2/z/=8,m=+2.正解：设方程两根为Xl，则圧+&=2刃+1,*%2—（/7/+1）2.V%!2+^22=7,（%

3、+&）2爾&=7,（2zz?+l）*2—2（加+1）"=7・即2屏=8,m=±2.当加=2时，原方程b2_4ac<0,

4、/.m——2.五、例5已知方程#+2（刃-1）/+3汾一11=0,问〃7为何实数时，方程有两个根&、.1—+—=—1.X2&错解：由根与系数的关系有X+^=—2（/77—1）,x,•x2=3in—ll,V—+X2x?.__.打+卅.（/1+禺）2—2简&_•［―2（加一1）2（3zz/—11）■［，••———丄，••———1J••o2!!XYXiX2XxX23/77—11=—1,即界一8刃+15=0,/.Z77）=3,朋=5.正解：由根与系数关系有%1+曲=—2（刃一1）,xx•A2=3zz/—11,9—--—=X2Xx■打+&2.（X

5、

6、+X2）2—2*禺_■［一2（加一1）2（3龙一11）•丄,••——————丄，••o2…x{x2x{x23zz?—11—1,即龙一8加+15=0,:・卬=3,扯=5.因刃=3或5吋，方程b2-4ac<0,・••不存在^-+-=—1成立.X2K六、忽视方程中的隐含条件例6已知关于x的方程a-l）/+V2T^+3=0有实数根，求k的取值范围.错解：•••方程有实数根，・•*—4牝=（岳）2—4（&一1）X320,解^kW°・VA—17^0,解得好・：・k的取值范围是k^-且WH1.错解分析：一元二次方程的解题中考虑厅一4日"0及—1H0

7、是必要的，但木题忽视了两点：一是方程可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程，题中未明确是一元二次方程，因此应有A-l=0；二是忽视了隐含条件25・七、不能正确使用根的判别式例7不解方程，判断方程根的情况：4/-3a+1=2.错解：•.•日=4,b=—3,c=l,.9.62—4ac=(―3)2—4X4XI=9—16=—7<0.原方程没有实数根.错解分析：使用根的判别式吋，必须先将方程整理成/+滋+c=0(日H0)的形式.正解：整理，得4%—3^—1=0,V<3=4,b=—3,c=—1,/.b'—4ac=(―3)2—4X4X(―1)=9+16

8、=25>0.・••原方程有两个不相等的实数根.一元二次方程错解示例一、例1&为何值时，方程才#+(2&—l)x+l=0有两个实数根？错解：•••方程有两个实数根420,即(2$—1)2—4才三0,解得日W丄.4错解分析：当日=0时，原方程为一元一次方程一x+1二0,它只有一个实数根，不合题意.正确的答案应为&W丄且&工0・4二例2已知曰、方满足才一2曰一1=0,庁一20—1=0,则纟+?=・ba错解：由题设可知日、0是方程#—2/—1=0的两根，・・・日+方=2,ab=—,・・・纟+纟=土=(°+疔-2〃=出=_6.haahab-1错解分

9、析：在井b时，日、b是方程#—2/—1=0的两根；在尸b时，纟+?ba=1+1=2.故本题的正确答案应是一6或2.三、例3已知a、0是方程#+5x+3=0的两个实数根，贝%唱+0石的值为.错解：设力=+0国,两边平方得八=Q'•为+2。B~~俨•乞=aY0ol04Q0,・・・A=2网，Ja0=3,：•所求式的值为2巧・错解分析：由题意可知.a+0=—5,。0=3,由此可知Q<0,0VO,因此ag+0暮<0.所以止确的结论应为一2內.四、例4已知关于x的方程/-(2加一1心+S—3尸=0的两个实数根的平方和为25,求刃的值.错解：设两根为

10、石、疋，则%1+%2—2/77—1,XxX2—(ZZ7—3)・.*12+看=(X1+&)'—2XX2=(2/77—1)2—2(zz7—3)2=25,化简得zz/+4刃一21=