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1、教学内容:第十一讲方阵问题在日常生活中,我们经常见到把人或物排成正方形的形状,比如用花盆摆成正方形,同学们要参加运动会入场式,要进行队列操练,解放军排着整齐的方队接受检阅等,无论是训练或接受检阅,都要按一定的规则排成一定的队形,于是就产生了这一类的数学问题,在数学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题。掌握这类问题的解题规律,可以提高我们的解题能力,培养思维的灵活性。今天我们将共同研究和分析这类问题。士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,恰好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。在摆放的方阵中如果是实心的,我们叫它中实方阵;如果这个方阵是空心的,我
2、们叫它中空方阵。观察中实方阵,我们不难发现方阵的基本特点:①方阵的每行物体个数与每列物体个数相等。②去掉横竖各一排时,有且只有1个物体是同时属于被减去的一行和一列。③如果把最外圈形成的正方形叫第一层,再向里一圈叫第二层的话,会发现相邻的这两个正方形每边个数相差为2,相邻两层相差总个数为8。④每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1⑤中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数观察中空方阵,我们不难发现方阵的基本特点:中空方阵的总人(或物)数=(最外层每边人(或物)数-中空方阵的层数)×中空方
3、阵的层数×4下面我们就利用以上特点进例1参加军训的学生进行队列表演,他们排成了一个七行七列的正方形队列,如果去掉一行一列,请问:要去掉多少名学生?还剩下多少名学生?分析与解答:如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列,从图中可以看出正方形队列的特点:(1)正方形队列每行、每列的人数相等,因此总人数=每行人数×每列人数。(2)去掉横竖各一排时,有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的,如图中点A所示。因此去掉的总人数=原每行人数×2-1,或去掉的总人数=减少后每行人数×2+1。本题中所求,即去掉的人数=7×2-1=13(人)或去掉的人数=(7-1)×2+1=13(人)还剩的人数=(7-1)×
4、(7-1)=36(人)或还剩的人数=7×7-13=49-13=36(人)答:如果去掉一行一列,要去掉13名学生,还剩下36名学生。例2小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵,最外层每边摆6枚,请问:要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子?最外一层的棋子总数是多少?分析与解答:如图,最外一层每边摆6枚,根据方阵每行每列个数相等特点,因此一共有6×6=36枚棋子。最外一层每边有6枚,如果用6×4=24枚,就认为是最外一层棋子数的答案的话,那就错了。因为正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列,这样棋子在计算总数时就被多数了一次,这样的顶点一共有4个,需要把多数的减去,才能得到正确的结果。列式是6×4-4=
5、20枚。说明:这道题还可以这样想:数每边棋子时,可以按上图先划分成4个相等的块,这样每边就有5枚了,因此用5×4=20枚,也可以得到正确答案。按照划分块的方法不同,至少还有两种方法,请同学们试一试。例3有一队士兵排成一个中实方阵,最外一层有100人,请问:方阵中一共有士兵多少人?分析与解答:要想求出方阵中一共有多少士兵,就应先求出方阵的最外层每边有多少人。已知方阵最外一层有100人,用100÷4=25人,每边是不是25人呢?不是的,因为平均分成4份后,还需要再加上1,才正好是每边上的人数,列式应该为100÷4+1=26人。因此方阵中一共有26×26=676人。答:一共有676人。说明:这道题关
6、键是求出每边人数。在求每边人数时,不要认为和“知道了正方形周长,求边长”一样,还必须要加上1。例4若干名同学排成中实方阵则多12人,若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加1人的方阵则还差9人排满,请问:原有学生多少人?分析与解:由于纵横两个方向各增加1人,因此不但将剩余12人摆上,而且还差9人,说明一横行与一竖行的人数总和是12+9=21人。又由于纵横两个方向各增加1人,因此只有1人同属于横行与纵行,在数每边上的人数时,总被多数一次,因此可以用21人先加上被重复数过的1人,再除以2,也就得到每边人数。列式为(21+1)÷2=11人。求出每边人数,就可求出假设排满后的人数,列式为11×11=12
7、1人,用121人减去差的9人就是原来人数,列式为121-9=112人。也可以根据原来的方阵再加上12,请你试一试。答:原有学生112人。前四个例题涉及的都是实心方阵问题。下面我们来研究中空方阵问题。例5游行队伍中,手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵,最外边一层每边12人,请问:彩车周围的少先队员共有多少人?分析与解答1:请同学们自己画一个图,下图是一个三层中空方阵的示意图,不难发
