阅读与思考向量概念的推广与应用

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1、《向量概念的推广与应用》导学案一、学习指导1.课题：人教A版选修2-1第99页阅读与思考《向量概念的推广与应用》2.目标：通过课前“类比猜一猜”进行合情推理，将平面向量推广到空间向量；通过课上阅读材料进行思考，了解向量在生活中的应用。3.建议：从平面向量推广到空间向量时，可以先根据结构形式类比着去猜测结论，然后再去考虑平面中成立的空间中也成立吗？实在想不清楚也没关系，毕竟空间向量需要有立体几何和空间直角坐标系等知识作为铺垫，而我们目前只学习了平面向量。二、学习任务（课前）问题一：基本概念的类比平面向

2、量空间向量定义既有大小又有方向的量平移自由向量，平移后不发生改变表示法几何表示：字母表示：，向量的模向量的大小：，相等向量方向相同且长度相等相反向量方向相反且长度相等单位向量长度为1的向量零向量长度为0的向量夹角0≤<,>≤π问题二：线性运算法则及运算律的类比平面向量空间向量加法运算三角形法则或平行四边形法则减法运算三角形法则数乘运算（k为正数，负数，零）加法交换律加法结合律数乘分配律和结合律问题三：一些定理与数量积共线向量定理对任意两个向量、()，∥的充要条件是存在实数使.共面向量定理不填如果两个

3、向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对，，使.向量基本定理如果、是同一平面内的两上不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使.如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使.基底上表中，不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.如果三个向量、、不共面，我们把叫做空间的一个基底，、、都叫做基向量.两个向量的数量积若，，则，其中为两个向量的夹角若，，则，其中表示两个向量的夹角.向量数量积的运算律（1）；（2）（交换律）（3）（分配

4、律）向量数量积重要性质（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.问题四：向量的坐标运算向量的坐标运算已知，则；；；已知，，则；∥且；.夹角和距离设，，与的夹角为，则，，如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么.设，，则一、学习困难：四、阅读与思考材料（课上）向量概念的推广与应用我们知道，在平面内取定正交基底建立坐标系后，坐标平面内的任一向量，都可以用二元有序实数对（）表示．平面向量又称为二维向量．给定空间一个正交基底，任意一个空间向量可用三元有序实数组（）表示．空间向量又称为三维向量．二

5、维、三维向量都称为几何向量．　　在实际问题中，经常会遇到一些需要用更多的实数来表示的量．比如：期末进行了五门考试，每个学生可用顺序排列的五科成绩来表示；在汽车生产线上，对装配好的汽车进行制动距离、最高车速、百公里油耗、滑行距离、噪声、废气排放量等六项指标的测试，那么每辆新车质量可用六元有序实数组表示．　　一般地，n元有序实数组（）称为n维向量，它是几何向量的推广．n维向量的全体构成的集合，赋予相应的结构后，叫做n维欧式空间，它的每一个元素可看成n维向量空间的一点．　　类似二维向量，对于n维向量，也可

6、定义两个向量的加法，减法，数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）、两点的“距离”等．　　设则　　　　，λ∈R；　　　　　n维向量空间两点A，B间的“距离”　　　　利用向量的运算可解决许多实际问题．为了研究某种商品的销售量是否随季节的变化而出现规律性的变化，采集了5年内这种商品每月销售量的数据．每年此商品的销售量可用12个月的销售量所形成的12维向量表示．不妨设5年的销售向量分别为计算这5年的月平均销售向量：　　观察这个向量的12个分量，就可看出这5年月平均销售量是否与季节的变化有关．　　上面是

7、一个应用向量加法与数乘运算的例子，下面我们再来看用“距离”概念解决实际问题的例子．依据“距离”来分类是一种常用的分类方法。计算每个向量与标准点的距离，与哪个标准点的距离近就归哪一类。请看下面的具体例子。例1：燕隼与红隼是同属于隼形目隼科的鸟类。它们的体型大小如鸽，形略似燕，身体的形态特征比较相似。红隼的体型比燕隼略大。通过抽样测量已知燕隼的平均体长约为31cm,平均翅长约为27cm;红隼的平均体长约为35cm,平均翅长约为25cm.近日在某地发现了两只形似燕隼或红隼的鸟。经测量，知道这两只鸟的体长和

8、翅长分别为A(32.65,25.2),B(33.4,26.9).你能利用这些数据判断这两只鸟是燕隼还是红隼吗？　　例2：某企业要为1000名职工制作工作服，每人测量身高、胸围、腰围三个指标，用三维向量表示．现准备制作5种型号，需要测量每种型号的服装应制作多少套．5种标准型号为5个点，要用两点距离的计算公式，计算每个人的身材点与5个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归哪一类．最后，计算出属于每一类的点数，就是这一类服装所需要的套数（实际计算中应将数据标准化）．当今世