整除的性质和 特征

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1、整除的性质和特征 　　整除问题是整数内容最基本的问题。理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。　　一、整除的概念：　　如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。整除属于除尽的一种特殊情况。　　二、整除的五条基本性质：　　（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；　　（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；　　（3）如果a能被b整除，b能被c

2、整除，则积a也能被c整除；　　（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；　　（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。　　三、一些特殊数的整除特征：　　根据整除的基本性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。　　（1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。　　①若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或8）或5的倍数（0、5），则这个数能被2或5整除；　　②若一个整数的十位和个位数字组成的两位

3、数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除；　　③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除。　　【推理过程】：　　2、5都是10的因数，根据整除的基本性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基本性质（1），则这个数能被2或5整除。　　又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基本性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。同时，任意一个多位数都可以看作一

4、个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和，根据整除的基本性质（1），可以推导出上面第②条、第③条整除特征。　　同理可证，若一个数的末四位数能被16或625整除，则这个数能被16或625整除，依此类推。　　（2）若一个整数各位上数字和能被3或9整除，则这个数能被3或9整除。　　【推理过程】：　　因为10、100、1000……除以9都余1，所以几十、几百、几千……除以9就余几。因此，对于任意整数ABCDE…(_______________)都可以写成下面的形式（n为任意整数）：　　9n＋（A＋B＋C＋D＋E＋……）　　9n一定能被3或9整除，根据整除的基本性质（1

5、），只要这个数各位上的数字和（A＋B＋C＋D＋E＋……）能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。　　（3）用“截尾法”判断整除性。　　①截尾减2法：若一个整数截去个位数字后，再从所得的数中，减去个位数字的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除；　　②截尾减1法：若一个整数截去个位数字后，再从所得的数中，减去个位数字的1倍，差是11的倍数，则原数能被11整除；　　③截尾加4法：若一个整数截去个位数字后，再从所得的数中，加上个位数字的4倍，差是13的倍数，则原数能被13整除；　　④截尾减5法：若一个整数截去个位数字后，再从所得的数中，减去个位数字的5倍，差是17的倍数，则原数能被

6、17整除；　　⑤截尾加2法：若一个整数截去个位数字后，再从所得的数中，加上个位数字的2倍，差是19的倍数，则原数能被19整除。　　根据整除的基本性质（3），以上5条整除特征中，如果差太大，可以继续前面的“截尾翻倍相加”或“截尾翻倍相减”的过程，直到能直接判断为止。　　【推理过程】：　　设任意一个整数的个位数字为y，这个数可以表示成10x＋y的形式，其中x为任意整数。　　一个数截尾减2后，所得数为（x－2y）。因为截去这个数的个位数字后，所得数x减去个位数字y的2倍，实际上是在原数的十位数字上减去2个y，即减去了20个y，截尾一个y，总共减去了21个y，剩下了（x－2y）个1

7、0。如下式：10x－20y＋y－y﹦（x－2y）×10﹦（10x＋y）－21y。　　根据整除的基本性质，如果（x－2y）能被7整除，则（x－2y）×10就能被7整除，即（10x＋y）－21y能被7整除，21y是7的倍数，可以推出原数（10x＋y）一定能被7整除。　　“截尾加4”就是原数截去1个y、加上40个y，总共加了39y（13的倍数），得到（x＋4y）个10，“截尾加4”所得（x＋4y）如果能被13整除，原数必能被13整除。　　同理，“截尾减1”就是原数减去了11个y（11的倍数），原数剩下（x－y）个10，“