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1、邹城一中三案一体《椭圆的简单几何性质》高二数学唐亚芹《椭圆的简单几何性质》教案【教学目标】1•知识目标：(1)使学生掌握椭圆的性质，能根据性质正确地作出椭圆草图；掌握椭圆中a、b、c的几何意义及相互关系；(2)通过对椭圆标准方程的讨论，使学生知道在解析儿何中是怎样用代数方法研究曲线性质的，逐步领会解析法(坐标法)的思想。(3)能利用椭圆的性质解决实际问题。2•能力目标:培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力。3•德育目标：(1)通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，使学生领悟其中所蕴涵的数学思想和数学方法，体验探索屮的成功和快
2、乐，使学生在探索屮喜欢数学、欣赏数学。(2)培养学生既能独立思考，乂能积极与他人合作交流的意识和勇于探索创新的精神。【教学重点】椭圆性质的探索过程及性质的运用。【教学难点】利用曲线方程研究椭圆性质的方法及离心率的概念。【教学方法】发现探究式【教学组织方式】学生独立思考、合作交流、师生共同探究相结合。【教学过程】一.创设情境教师：2008.9.25,是我国航天史上一个非常重要的口子，“神舟七号”载人飞船成功发射，实现了几代中国人遨游太空的梦想，这是我们中华民族的骄傲。我们知道，飞船绕地运行了十四圈，在变轨前的四圈中，是沿着以地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行的。如果告诉你飞船
3、飞离地球表面最近和最远的距离，即近地点距地面的距离和远地点距地面的距离，如何确定飞船运行的轨道方程？要想解决这一实际问题，就有必要对椭圆做深入的研究，这节课我们就一起探求椭圆的性质。(引出课题)教师:前面我们学习了椭圆的定义和标准方程，谁能说说椭圆的标准方程(学牛回答)。二.探索研究1.范围教师：同学们继续观察椭圆，如果分别过A】、A2作y轴的平行线，过Bi、B2作x轴的平行线(课件展示)，同学们能发现什么？学生能答出：椭圆围在一个矩形内。教师补充完整：椭圆位于四条直线x二土a,y二土b所围成的矩形里，说明椭圆是有范围的。教师：下面我们想办法再用方程二+£=l(a>b>0
4、)来证明这一结论的正确aL少性。启发学生，用方程讨论图形的范围就是确定方程中X、y的取值范围。从方程的结构特点出发，师生共同分析，给出证明过程。22由各■+%=,利用两个实数的平方和为1,结合不等式知识得，ab~x22且y'Wb?,则有丨xIWa,IyIWb,所以一aWxWa,-bWyWb。2.对称性的发现与证明教师：椭圆的图形给人们以视觉上的美感（课件展示椭圆），如果我们沿焦点所在的直线上下对折，沿两焦点连线的垂直平分线左右对折，人家猜想椭圆可能有什么性质？（学生动手折纸，课前教师要求学生把上节学习椭圆定义时画的椭圆拿来。）学生们基本上能发现椭圆的轴对称性。教师：除了轴
5、对称性外，还可能有什么对称性呢？稍作提示容易发现中心对称性。教师：这仅仅是由观察、猜想得到的结果，怎样用方程证明它的对称性？师生讨论后，需要建立坐标系，确定椭圆的标准方程。不妨建立焦点在x22轴上的椭圆的标准坐标系，它的方程就是牛+与二1。a/r教师：这节课就以焦点在X轴上的椭圆的标准方程为例來研究椭圆的性质。教师：这样建立的坐标系对称轴恰好重合于坐标轴，我们先证椭圆关于y轴对称。为了证明对称性，先作如下铺垫：（一起回顾）教师：在第一册学过，曲线关于y轴对称是指什么呢？学生：曲线上的每一点关于y轴的对称点仍在曲线上。教师：要证曲线上每一点关于y轴的对称点仍在曲线上，只要证
6、明…一学生：曲线上任意一点关于y轴的对称点仍在曲线上。教师：同学们阅读教材中椭圆对称性的证明过程，仔细体会并思考“为什么把x换成-x时，方程不变，则椭圆关于y轴对称”。请一位学生讲解椭圆对称性的证明过程，以此来训练学生表述的逻辑性、完整性和推理的严谨性。教师对学生的证明进行评价。教师：用类似的方法可以证明椭圆关于x轴对称，关于原点对称。课件展示22对称性并总结：方程d+L=l表示的椭圆，坐标轴是其对称轴，原点是其对称a~b~中心.从而椭圆有两条互相垂直的对称轴，有一个对称中心（简称中心）.3.顶点的发现与确定教师：義们研究曲线，常常需要根据曲线上特殊点的位置来确定曲线的位
7、置。教师提问：你认为椭圆上哪几个点比较特殊？由学生观察容易发现，椭圆上存在着四个特殊点，这四个点就是椭圆与坐标轴的交点，同时也是椭圆与它的对称轴的交点。教师启发学生与一元二次函数的图像（抛物线）的顶点作类比，并给出椭圆的顶点定义。教师：能根据方程确定这四个顶点的坐标吗？由学生自主探究，求出四个顶点坐标。即令x=0,得y=±b,因此B,(0,-b),B2(0,b),令y二0,得x二土a,因此人(-a,0),A2(a,0)o结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，半焦距,点明方程中a、b和c的几何意义和数量关系
